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离散数学 离散数学 二、与同态相关的概念 例7：设V1 = R, +，V2 = R, ?，令? : R ? R， ? (x) = 2x，验证? 是V1到V2的单同态。 ? (x + y) = 2(x + y) = 2x ? 2y = ? (x)?? (y)， 则? 是V1到V2的同态， 其次，对于? x, y?R，当x ? y时，2x ? 2y， 即? (x) ? ? (y)， 解：对? x, y?R ，有 从而，? 是V1到V2的单同态。 则? 为单射的， 离散数学 三、同态概念之推广 具有代数常数的代数系统之间的同态： 设代数系统V1 = S1, ? , k1，V2 = S2, ? , k2， 其中? , ?是二元运算，k1?S1，k2?S2是代数常数。 若映射? : S1 ? S2满足下列条件： (1) ? x, y?S1，有? (x ? y) = ? (x) ? ? (y)， (2) ? (k1) = k2， 则称? 是V1到V2的同态。 离散数学 三、同态概念之推广（续） 例8：设V1 = R, +, 0，V2 = R, ?, 1，令? : R ? R， ? (x) = 2x，验证? 是V1到V2的同态。 ? (x + y) = 2(x + y) = 2x ? 2y = ? (x)?? (y)， 则? 是V1到V2的同态。 且? (0) = 1， 解：对? x, y?R ，有 * 离散数学 第五章 代数系统的一般性质 §5.1 二元运算及其性质 §5.2 代数系统及其子代数 §5.3 代数系统的同态与同构 离散数学 如：集合Z对加、减、乘法封闭，但对除法不封闭。 验证运算是否为集合S上的二元运算，首先需要 验证集合S对该运算的封闭性。 一、二元运算的概念 二元运算：设S为集合，函数f : S ? S ? S称为S上 的一个二元运算，简称为二元运算。 §5.1 二元运算及其性质 集合对运算的封闭性：给定集合S ，如果对集合上 的所有元素进行某种运算后，运算结果仍 在S中，则称集合S对该运算封闭。 离散数学 一、二元运算的概念（续） 常见二元运算： (1) 设f : N ? N ? N，f (x, y) = x + y，则f 是集合 N上的二元运算。即自然数集合N上的加法运算 是N上的二元运算，但减法不是。 (2) 整数集合Z上的加、减、乘法运算是Z上的二元 运算，但除法不是。 (3) 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合，则矩阵的 加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 离散数学 一、二元运算的概念（续） (4) S为任意集合，P(S)为其幂集，则∪,∩, ? , ? 都 是P(S)上的二元运算。 (5) S为集合， SS是S上的所有函数的集合，则合成 运算? 是SS上的二元运算。 n元运算：设S为集合，n为正整数，则函数 f : S ? S ?… ? S ? S称为S上的一个n元运算， 简称为n元运算。 n个 离散数学 一、二元运算的概念（续） n元运算通常用符号? , ? , ? , ? …来表示。 如： f : N ? N ? N，对? x, y?N ， f (x, y) = x + y 可简记为 ? (x, y) = x + y 或x ? y = x + y。 g : N ? N，f (x) = y 可简记为 ? (x) = y。 离散数学 一、二元运算的概念（续） 有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出。 a1 a1 ? a1 a1 ? a2 … a1 ? an ? a1 a2 … an a2 a2 ? a1 a2 ? a2 … a2 ? an an an ? a1 an ? a2 … an ? an … … … … an ? (an) ? ? (ai ) a1 ? (a1) a2 ? (a2) … … 离散数学 一、二元运算的概念（续） 例1：设S ={1, 2, 3, 4}，定义S上的二元运算如下：