2015级数列竞赛题.doc

2010级学生数学竞赛辅导练习题 ——数列部分 组题 刘天云 2012年4月5日 一、学习目标： 熟练掌握等差、等比数列求通项、求和的基本思想和方法；掌握通过递推关系求通项、求和的基本策略和技巧；能够解决较难的高考数列问题和竞赛中数列问题. 二、基础知识和基本思想方法： （一）数列的通项公式和递推关系 1．把数列第项和项数之间关系式叫做数列通项公式.若数列前项和，则和之间具有下列关系：； 2．把数列连续若干项之间的等量关系称为数列的递推关系，由递推关系及个初始值可确定的数列叫阶递推数列，常见递推数列是线性递推数列. 等差数列满足，它是一阶线性递推数列；等差数列满足，它是二阶线性递推数列；等比数列满足，它是一阶线性递推数列. （二）等差、等比数列性质 1．若，若，在等差数列中，有：；在等比数列中，有：. 2．数列，均为等差数列，则为等差数列，也是等差数列；若，为等比数列，则，，仍为等比数列. 3．已知数列的前项和为，若，则时，是等差数列.若，则时，是等比数列. 4．若数列是等差数列，则数列（）是等比数列；若正数列是等比数列，则数列（）是等差数列. 5．等差数列的连续、等长、等间隔的片段和序列仍成等差数列；正数等比数列的连续、等长、等间隔的片段和序列以及连续、等长、等间隔的片段积序列仍都成等比数列. （三）数列求和或求通项的几种常用的方法 1．公式法（直接转化为等差数列或等比数列求和问题） ① 等差、等比数列求和公式： ② 一些常用的公式： ； . 2. 反序相加法； 3.“系数”成等差，“项”成等比（形如：），用乘公比错位相减法求和； 4. 拆项累加或累乘相消求和、求通项； 5. 引入辅助数列通项（一阶递推型，或二阶递推型）； 6. 归纳猜想求和、求通项（数学归纳法证明）. 典型例题 题组Ⅰ：线性递推数列 例1 设数列的首项求数列的通项公式. 例2（2009全国Ⅱ）设数列的前项和为，已知,,,, （Ⅰ）设证明数列等比数列； 例1答案：. （Ⅱ）求的通项公式. 例2（Ⅱ）答案：. 例3（2009全国联赛一试）已知是实数，方程有两个实数根，数列满足且 （Ⅰ）求数列的通项公式（用表示）； （Ⅱ）若，求数列的前项和为. 例3答案：(Ⅰ) （Ⅱ） 题组Ⅱ：数列分群 例4 数列此数列的第2009项是什么？在2009项之前是否存在和第2009项等值的项？若存在，则该项为原数列中第几项？把2009改成2012又会咋样？ 例4答案： 存在 502项 .（ 不存在） 例5（2008山东)将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数，，，，构成的数 列为,，为数列的前项和， 且满足=1（≥2）. （Ⅰ）证明数列｛｝成等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第(≥3)行所有项的和. 答案： 题组Ⅲ：几个连续正整数的乘积的和及其倒数和 例6证明：（1） （2） （3） （4） 例7（1992高中联赛）求证：. 题组Ⅳ：用不动点法构造辅助数列，求型如（）的通项公式 若在函数定义域内，使得，则叫函数的不动点. 例8对于定义在R上的函数，若实数满足，则称是的不动点，若存在不动点，求的取值范围. 例9 数列满足，，求该数列的通项公式. 例10已知数列满足，若，求该数列的通项公式. 例11（2010全国Ⅰ）已知数列中，，.求数列的通项公式. 例12（2011年高中联赛）已知数列满足：R且， N． (Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）若，试比较与的大小． 答案：例8 ； 例9 ； 例10 ； 例11；例12 (Ⅰ) ，（Ⅱ）证明即可. 四、高考和联赛真题 1. (2011全国Ⅰ)设数列满足，且 （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设 2. （2011吉林预选赛）已知数列满足，，，求该数列的通项公式. 3.（2010福建预选赛）在数列中，已知，，，求使成立的最小正整数的值. 4．（2010江西预选赛）数列、满足，数列前项和 ，求数列的前项和. 5．（2009全国联赛）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 . 6．（2010安徽预选赛）已知（），求该数列的通项公式. 7．（2010四川预选赛）已知是数列的前项的和，对任意的正整数，都有 成立，其中．w求数列的通项公式. 8.（2010湖北预选赛）已知数列中，，且．求数列的通项公式. 9.（2010贵州预选赛）已知数列满足，, ,,（）, (Ⅰ)求的通项公式. （Ⅱ）求数列的前项和为. 10.（2009全国卷Ⅰ