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节水洗衣机模型 问题的提出 假设和定义 建立模型 分析和求解 仿真 结论和讨论 1 问题的提出 我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水-漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。 2 假设和定义 2.1 基本假设 仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清水进行下一次漂洗。 每次洗漂加水量不能低于 ，否则洗衣机无法转动；加水量不能高于 ，否则会溢出。设 每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶入水中从而使每次所加的水充分利用 脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个大于0的常数 ，并由于脱水时不另加水故 2.2 变量定义 设共进行 n 轮“洗漂 脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，…，第 轮 第 轮用水量为 衣服上的初始脏物为 ，在第 轮脱水之后的脏物量为 3 建立模型 3.1 溶解特性和动态方程 在第 轮洗漂之后和脱水之前，第 轮脱水之后 脏物量 已变成了两部分： 其中 表示已溶入水中的脏物量， 表示尚未溶入 中的脏物量。 与第 轮的加水量 有关，总的规律 应是， 越大 越大，且当 时， 最小（＝0， 因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动）， 当 时 最大（ 这里假设 ＝ ，其中 称为‘溶解率’）因此简单地选择线性关系表示这种溶解特性则有： 在第 轮脱水之后，衣服上尚有脏物 。有脏水 ，其中脏水 中 含有脏物量为 ，于是第 轮完成 之后衣服上尚存的脏物总量为： 将（3.1.2）代入上式整理后得系统动 态方程： 3.2 优化模型 由于 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物量，而 是初始脏物量，故 反映了洗净效果。由系统动态方程（3.1.4）可得： 又总用水量为： 于是可得优化模型如下： 若令： 则优化模型变成为更简洁的形式： 4 分析与求解 4.1 最少洗衣轮数 定义函数 （4.1.1） 易知 （4.1.2） 可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数，所以 （4.1.3） 第k轮的洗衣效果为 （4.1.4） 由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到 （4.1.5） 给定洗净效果的要求 则应有 （4.1.6） 于是 （4.1.7） 若考虑 的值不大于0.99。而 代表脱水后衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级是很小的，所以 （4.1.8） 比如 小于万分之一，则有**式。这样最少洗衣轮数的估计值为： (4.1.9) 设 满足（4.1.