新构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用.docVIP

构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用 函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种，下面就源于两个重要极限的不等式利用近三年高考题举例加以说明。 1．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是 A．　　　 B． C． 　 D． 【答案】A【解析】由已知，首先令得，排除B，D． 令，则， ①　当时，有，所以函数单调递增，所以当时， ，从而． ②　当时，有，所以函数单调递减，所以当时， ，从而．综上．故选A． 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力． ．已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）证明：若，则对任意，，有． 解：（Ⅰ）的定义域为． …………………2分 （i）若即，则， 故在单调增加． （ii）若，而，故，则当时，； 当及时，．故在单调减少， 在单调增加． （iii）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加． （II）考虑函数． 则 ． 由于故，即在单调增加，从而当时有 ，即，故，当时，有． ………………………………12分 ．已知曲线．从点向曲线引斜率为 的切线，切点为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线 ， 联立可解得， ， 先证：， 证法一：利用数学归纳法 当时，，命题成立， 假设时，命题成立，即， 则当时， ∵， 故． ∴当时，命题成立 故成立． 证法二：，， 下证：． 不妨设，令， 则在上恒成立，故在上单调递减， 从而，即． 综上，成立． ．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分） 设函数有两个极值点，且． （I）求的取值范围，并讨论的单调性； （II）证明：． 【解】（I）由题设知，函数的定义域是 且有两个不同的根，故的判别式，即 且 …………………………………① 又故．因此的取值范围是． 当变化时，与的变化情况如下表： 因此在区间和是增函数，在区间是减函数． （II）由题设和①知 于是　　　　． 设函数 　 则 　 当时，； 当时，故在区间是增函数． 于是，当时， 因此 ． www．ks5u．com ．【2008年山东理】　21．（本题满分12分） 已知函数其中为常数． （I）当时，求函数的极值； （II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有 【标准答案】 （Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为， 当时，，所以． （1）当时，由得，， 此时． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． （2）当时，恒成立，所以无极值． 综上所述，时， 当时，在处取得极小值，极小值为． 当时，无极值． （Ⅱ）证法一：因为，所以． 当为偶数时， 令 ， 则（）． 所以 当时，单调递增， 又， 因此 恒成立， 所以 成立． 当为奇数时， 要证，由于，所以只需证， 令 ， 则 （）， 所以 当时，单调递增，又， 所以当时，恒有，即命题成立． 综上所述，结论成立． 证法二：当时，． 当时，对任意的正整数，恒有， 故只需证明． 令 ，， 则 ， 当时，，故在上单调递增， 因此 当时，，即成立． 故 当时，有． 即 ． 【试题分析】第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值．第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值 ，最后作出判断． 【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式 【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断 的正负漏掉符号． 【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性． ．【2007年山东理】 （22）（本小题满分14分） 设函数，其中． （I）当时，判断函数在定义域上的单调性； （II）求函数的极值点； （III）证明对任意的正整数，不等式都成立． 【解】（Ⅰ）由题意知，的定义域为， 设，其图象的对称轴为， 　 当时，，即在上恒成立， 当时，， 当时，函数在定义域上单调递增　 （Ⅱ）①由（Ⅰ）得：当时，函数无极值点　 ②时，有两个相同的解， 时，， 时，， 时，函数在上无极值点　 ③当时，有两个不同解，，， 时，，， 即，　 时，，随的变化情况如下表： 极小值 由此表可知：时，有惟一极小值点， 当时，， ， 此时，，随的变化情况如下表：