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第二节 回转薄壳应力分析 概念 壳体：以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向尺寸小得多的构件。 壳体中面：与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。 薄壳：壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）max≤1/10。 薄壁圆筒：外直径与内直径的比值Do/Di≤1.2。 厚壁圆筒：外直径与内直径的比值Do /Di≥1.2 。 3.2.1 薄壳圆筒的应力 1． 基本假设： a.壳体材料连续、均匀、各向同性； b.受载后的变形是弹性小变形； c.壳壁各层纤维在变形后互不挤压。 典型的薄壁圆筒如图2-1所示。 图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的应力 2．B点受力分析： 内压P（ B点）：轴向：经向应力或轴向应力σφ 圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr 三向应力状态→（σθ 、σφ σr）→二向应力状态 因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ(见图2-1) 3． 应力求解 截面法 图2-2 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡 应力求解 （静定，图2-2） 3.2.2 回转薄壳的无力矩理论 一、回转薄壳的几何要素： 回转薄壳：中面是由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成。 母 线：绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线,如OA 极 点：中面与回转轴的交点。 经线平面：通过回转轴的平面。 经 线：经线平面与中面的交线,即OA＇ 平 行 圆：垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。 中面法线：过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与回转轴相交。 第一主曲率半径R1：经线上点的曲率半径。 第二主曲率半径R2：垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率半径(K1B )等于考察点B到该点法线与回转轴交点K2之间长度（K2B） 平行圆半径r：平行圆半径。 图2-3 回转薄壳的几何要素 同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。 曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。 r与R1、R2的关系： r=R2sin 二、无力矩理论与有力矩理论 图2-4 壳中的内力分量 内力：①薄膜内力：Nφ、Nθ、Nφθ、Nθφ——无力矩理论或薄膜理论（静定） ②弯曲内力：有力矩理论或弯曲理论（静不定） A、横向剪力Qφ、Qθ B、弯矩转矩：Mφ、Mθ、 Mφθ、Mθφ、 即 无力矩理论: 只考虑薄膜内力, 忽略弯曲内力的壳体理论。 有力矩理论: 同时考虑薄膜内力和弯曲内力的壳体理论。 无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。 3.2.3 无力矩理论的基本方程 一、壳体微元及其内力分量 微元体：a b c d 经线ab弧长： 截线bd长： 微元体abdc的面积： 压力载荷： 微元截面上内力： 图2-5微元体的力平衡 二、微元平衡方程（图2-5） 微体法线方向的力平衡： 由 得 微元平衡方程。又称拉普拉斯方程。 图2-6 部分容器静力平衡 三、区域平衡方程（图2-6） 压力在0-0′轴方向产生的合力： 作用在截面m-m′上内力的轴向分量： 区域平衡方程式： 求解步骤： a.由 求轴向力 V b.由(2-4)式求得 c.将代入(2-3)式求得 无力矩理论的两个基本方程: 微元平衡方程、区域平衡方程。 3.2.4 无力矩理论的应用 分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： ①承受气体内压的回转薄壳：a 球形薄壳 b 薄壁圆筒 c 锥形壳体 d 椭球形壳体 ②储存液体的回转薄壳： a 圆筒形壳体 b 球形壳体 一、承受气体内压的回转薄壳 回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生的轴向力V为： 由式（2-4）得： （2-5） 将式（2-5）代入式（2-3）得： （2-6） A、球形壳体 球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等，即R1=R2=R 将曲率半径代入式（2-5）和式（2-6）得： （2-7） 结论 a.受力均匀且小。所以大型储罐制成球形较经济。 b.变形后仍为球形。 B、薄壁圆筒 薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为： R1=∞；R2=R 将R1、R2代入（2-5）和式（2-6）得： （2-8） 薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍。 结论a.的应用：(a)开椭圆孔时,应使短轴∥轴线。 (b)纵焊缝受↑,强度↓,薄弱,∴质量要求(A类) b.变形后仍为圆筒壳 C、锥形壳体 由式（2-5）、（2-6）得： （2-9） 结论： ①周向应力和经向应力与x呈线性关系，锥顶处应力为零，离锥顶越远应力越大，且周向应力是经向