Haar小波分析-长沙理工大学.ppt

copyright@孙延奎2005 多分辨分析 ? 空间 两个重要的完备的内积空间 Haar尺度函数、小波函数、多分辨分析 Haar尺度函数、小波函数、多分辨分析（续） * ? 一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波 Mallat算法 一维双正交多分辨分析 线性空间: 集合+代数运算（加法与数乘） 内积空间: 线性空间 + 内积运算 完备的内积空间: 内积空间+ 对limit运算封闭 一维正交多分辨分析 ?常用多分辨分析（Multiresolution Analysis,MRA）构造正交小波基 MRA (非正交)尺度函数 正交尺度函数 低通滤波器 高通滤波器 小波函数 Mallat算法 正交化 两尺度方程 小波方程 MRA 令 中的一个函数子空间序列。若下列条件成立： ， 1) 单调性： ， 2) 逼近性 ： ， 3) 伸缩性 ： 4) 平移不变性 ： 5) Riesz 基存在性 ： 存在函数 使 ， 构成 的一个Riesz基（不一定是正交的） 。 称为尺度函数。 多分辨分析。 MRA（续） 两尺度方程 ： ? Haar多分辨分析 MRA（续） ? 标准化尺度和小波下的情况如何？ ? 多分辨分析 尺度空间 小波空间 ? 函数的多分辨表示 （标准化尺度函数与小波） 几个概念之间的联系 多分辨逼近 ? 基数B样条多分辨分析 次样条空间 是如下函数的集合： 次连续可微，且在任意二进区间 上是 m 次多项式。 记 的尺度函数 MRA（续） ? Shannon多分辨分析 的正交尺度函数。 MRA（续） 正交尺度函数的构造 尺度函数 正交尺度函数 性质？ 问题: 不是 的标准正交基. 目标: 构造一个小波 ,使 构成 的标准正交基. 正交小波函数的构造 令 , 则 的标准正交基. 是 构成 的标准正交基。 即 是一个小波 。 是一个正交小波 。 MRA 时域求解过程 正交小波函数的构造(续) 频域求解过程 正交小波函数的构造举例 ? Haar小波 正交小波函数的构造举例（续） ? Shannon小波 半正交小波函数的构造举例 ? 基数B样条小波 是m次基数B样条多分辨分析 的一个非正交的尺度函数 。 的性质: 支撑为 ; ; 的两尺度方程: 基数B样条小波: 半正交小波函数的构造举例(续) 性质: 半正交性: 紧支撑性: 对称性: ? Battle-Lemarie样条小波 正交小波函数的构造举例（续） 引入m+1阶基数B样条多分辨分析的另一个非正交尺度函数. 定义: 对称 对称 : m次盒样条. m是偶数时 m是奇数时 正交化 ? Battle-Lemarie样条小波 正交小波函数的构造举例（续） Battle-Lemarie线性样条尺度函数与小波 有无限支集，但 是指数衰减的。 对称的正交小波。 正交小波函数的构造举例（续） ? Battle-Lemarie样条小波 Mallat算法 小波系数 Pj正交投影 Mallat算法(续) 问题：已知 ，给出计算 ， 的快速算法。 分解算法 重构算法 Mallat算法