PIA方法数值效率分析.doc

一类新型拟合方法的误差估计及其应用邓少辉，汪国昭 (浙江大学数学系，杭州，310027) 摘 要: 基于配置矩阵的迭代格式和对角分解，主要分析了渐进迭代逼方法(the progressive iterative approximation method, PIA)的拟合误差，并推导PIA方法的拟合误差估计公式；基于推导的拟合误差估计公式，给出了PIA方法若干理论和实际应用，并由此进一步分析了PIA方法数学模型的收敛性和收敛速度. 最后，文中给出了两个数值实例以验证本文的结论. 关键词: 迭代; 拟合; 误差估计 中图法分类号: TP391.72 文献标识码: A Error Estimation and Application of a New Class of Fitting Method Deng Shaohui , Wang Guozhao (Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou,310027) Abstract: Based on the iterative format and the diagonalization of the collocation matrix, we give a detailed analysis of the fitting error of the progressive iterative approximation method (PIA). In addition, we deduce the formula for the upper bound of the fitting error of the PIA method; based on the formula of the fitting error given by us, some theoretical and practical applications are given. Furthermore, we present an analysis of the convergence and the convergence rate of the mathematical model of the PIA method. Finally, two numerical examples are presented to illustrate the conclusions. Key words: iteration; fitting; error estimation 在计算机辅助几何设计（CAGD）和计算机图形学（CG）等领域，随着激光采样等硬件技术的迅速发展，大规模离散数据拟合及曲面重建得到了日益广泛的应用. 和其它工程应用相比，在计算机图形等领域，对拟合方法有更高的要求：对于精确模型，如逆向工程，要求拟合误差具备严格的可控性，拟合误差必须控制在允许的范围内；对于非精确模型，如计算机动画等领域，对拟合精度要求相对较低，其主要目标是拟合外形具有视觉合理性. 显然传统的拟合方法，难以同时具备这样的性能. 近年来，一类新型拟合方法 PIA方法的提出，可解决这一难题，因而备受关注[1-11]，成为当前的研究热点之一. PIA方法是由Qi[1]和de Boor[2]先后提出，最初的研究局限于三次均匀B样条基函数，后经Wang[3]和Lin[4-6]等人将其进一步推广到标准全正基和曲面情形. 最近，Chen[7]等发现PIA 方法同样也适用于B-B曲面. 而Lu[8]通过引入权因子，给出了一种有效加速PIA收敛的算法. Lin[6] 进一步改进了PIA的迭代格式，可实现局部数据拟合. Delgado[9]比较了不同的拟合基函数，并证明B基是收敛最快的拟合基函数. PIA方法是一类以拟合误差为驱动的迭代方法，通过不断的调整控制顶点，迭代生成拟合曲线. 当拟合误差足够小时，则可以实现精确插值；当把拟合误差控制在一定范围内，则可实现不同层次的拟合. 所以PIA方法同时兼容了插值算法，和传统的拟合方法相比，PIA方法更有弹性. 因此拟合误差分析是PIA方法的重要内容之一，无论在理论还是在实际应用等方面都有重要意义，而目前文献少有涉及，本文将作具体的分析. 传统的拟合误差分析, 通常是先求出拟合曲线，然后直接计算出拟合误差，无法预先估计，理论分析更是非常困难. 而对于PIA方法，则可以很好的弥补传统拟合方法这一不足，可以预先估计. 一般拟合误差可分为两类：模型误差和随机误差（噪声），引起随机误差的原因是多种多样的，不予讨论. 本文主要分析了PIA方法的模型误差，并给出了具体拟合误差估计公式，从而在理论上进一步完善了PIA方法. 在实际应