《专题复习：中考数学最值问题》.doc

《专题复习：中考数学“最值”问题》 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 利用函数模型求最值 例1 、如图（1），平行四边形中，，E为BC上一动点（不与B重合），作于，设的面积为当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？ （1） 【观察与思考】容易知道是的函数，为利用函数的性质求的最大值， 就应先把关于的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 （1） 解：如图（1`），延长交的延长线于易知。 ，而， 又，在中，。 。 中。 对称轴当，随的增大而增大。 当，即E与C重合时，有最大值，。 例2(2008年山东省潍坊市中考题) 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化．绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩．并且种植草皮面积不少于种植树木面积的．已知种植草皮与种植树木每亩的费用 分别为8000元与12000元． （1）种植草皮的最小面积是多少？ （2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？ 分析:(1)根据种植草皮面积不少于种植树木面积的,通过解不等式可以求得种植草皮的最小面积;(2)建立一次函数,根据一次函数的增减性,求得绿化总费用最低值. 解:(1)设种植草皮面积为亩,则种植树木面积为(30-)亩, 由≥,解得≥18,即种植草皮的最小面积为18亩. (2) 因为种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩．所以的取值范围为10≤x≤20. 所以当取最大值20时,函数 即当种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低,最低费用为280000元. 评注:函数为减函数,当自变量取得最大值时,函数S有最小值,即费用最低,最低费用为280000元, 【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。 三、利用几何模型求最值 （1）归入“两点之间的连线中，线段最短” 例1、几何模型： 条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________； （2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值； （3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值． 例2 如图（1）所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区，已知千米，直线与公路的夹角新开发区B到公路的距离千米。 （1）求新开发区A到公路的距离； （2）现从上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离 之和最短，请用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时的值。 【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。 对于（2），首先利用“轴对称”的性质， 把原题中的求“” 最短，转化成求“ ”最短（其中是A关于的对点。 解：（1）先作垂直于于点如图（1`） 在中，（千米） 在中，（千米） （千米） （2）作点A关于的对称点，连结交于点。 （1`） 结果如图（1``），点即为所求。 如图（1``），作交的延长线于点。 在中，（千米）， （千米）。 （千米）。 此时（千米） 例3 如图，（1），在中，，为边上一定点，（不与点B，C重合），为边上一动点，设的长为，请写出最小值，并说明理由。 【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在 直线上求一点，使它到同侧的两个定点和的距离之和 最小”。因此，可由图（1`）（连结关于的对称点与所成线段， 交于。或图（1``）（连结关于的对称点与所成线段，交于，都同样可得最小值。 （1`） （1``） （1```） 解：如图（1```），作点关于的对称点，连结交于点，易知， 。 在中，， 又，在上任意取一异于的点，连结，则 对边上的动点，