不等式问题的题型与解析方法(理科).doc

不等式问题的题型与方法(理科） 考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用； 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)． 5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法 6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（2006年江西卷）若a(0，b(0，则不等式－b((a等价于（ ） A．(x(0或0(x( B.－(x( C.x(-或x( D.x(或x( 解析：－b((a等价于－b(0或0(a等价于x(或x( 答案：D 点评：注意不等式和适用条件是 例2.（2007年北京卷）如果正数满足，那么（　　） Ａ．，且等号成立时的取值唯一 Ｂ．，且等号成立时的取值唯一 Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一 Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一 解析：正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(2007年安徽)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是 (A)a＜－1 (B)≤1 (C) ＜1 （D）a≥1 解析：若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x＜0时， －x≥ax，∴a≥－1，综上得，即实数a的取值范围是≤1，选B。 有关不等式的解法 此类问题在高考中选择题，填空题及解答题中均有出现，并且这几年考查也为较为平凡， 要求掌握几种简单的不等式的解法，如分式不等式，高次不等式，无理不等式及含有绝对值的不等式的解法，特别要注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。 例4．（2007年北京卷）已知集合，．若，则实数的取值范围是 解析：集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴ ，解得2a3，实数的取值范围是(2，3)。 答案：(2，3) 点评：本题将绝对不等式，一元二次不等式的解法与集合的知识结合起来考查，属中档题 例5．（2007年湖北卷）设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：先解两个不等式得，。由定义选Ｂ 答案：Ｂ 点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。 注意点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解时出错。 例6．（2007年江西卷）已知函数在区间内连续，且．（1）求实数和的值；（2）解不等式． 解析：（1）因为，所以，由，即，． 又因为在处连续， 所以，即． （2）由（1）得： 由得，当时，解得． 当时，解得， 所以的解集为． 点评：本题在分段函数的背景下考查不等式的解法，巧妙地将连续结合在一起，近几年来这类以分段函数为背景下的命题很多，逐步形成了热点问题，很值得重视 3．有关不等式的证明 不等式的证明非常活跃，它可以和很多知识如函数、数列、三角、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到相关的技能、技巧，应注意加强逻辑推理能力的训练。 例7．（2006年天津卷）已知数列满足并且