专升本《高等数学》复习指导（上）：.doc

专升本《高等数学》复习指导（上）： 夯实基础、树立信心、迎接挑战 人们一提到数学，尤其是高等数学就会产生为难情绪。究其原因，一是历史上大众的认知对我们的潜在影响；二是自己没有细心研究数学的特点。其实，可以笼统地说：数学就是一种认识世界、描述事物的语言而已。不过，它有着自己的符号以区别于其它语言。因此，要学好数学，首先认识数学符号，领会其内在含义。也就是说，要打好基础！本文以专升本高等数学《考试大纲》为依据，从认识论的角度出发，通过例题的讲解，说明熟练掌握：基本知识、基本原理、及基本技巧的重要性。从而达到让我们夯实基础，树立信心的目的，进而在考试中取得好成绩。以下按相应章节论述。 极限和连续 （一）表达式： 的含义。该表达式是指对于函数 f (x)，如果当 x 无限地趋近于时，函数 f (x)的值无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x→时的极限。 其中，最基本的几个结论是：等基本初等函数的极限在它们的定义域内就等于它们的定义值。下面的例子给出准确地把握定义和使用技巧之间的关系： 由于该极限是“0/0”型未定式，故极限的商的运算法则不适用，此时要想法消去零因子，观察发现可以分解出零因子，由于当时，函数与具有相同的函数值，从而当时，函数与的具有相同的变化趋势，这样就把求函数的极限转化为求函数的极限，把未知问题转化为了已知问题，问题最终得到了解决。又如我们已知重要极限 （若在自变量的某个变化过程中 ，则 例如, ），利用这个结论求如下极限：，为了使表达式中出现正弦函数，此时我们想到余弦函数的倍角公式：，此为解决该问题的技巧。整个求解过程如下：。 （二）表达式：的含义。对于函数 f (x)，如果当 x→+∞ 时， f (x)的函数值无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x →+∞时的极限。其中，最基本的几个结论是：（若在自变量的某个变化过程中,则,例如,）.利用这几个结论求如下几个极限：（1）在该问题的求解过程中，我们注意到函数的表达式中，为了利用重要极限II，我们将表达式的指数凑出，这样就在指数的表达式中分母除以，分子再乘以，然后利用极限的运算法则：,就得到相应的结果。（2） 该题是所谓的“”型未定式，由于已知，那么函数表达式的分子、分母同除以它们多项式的最高阶幂项，利用这一结论，就可以使用极限的运算法则了。（3）这一问题的求解思路同（2）。 （三）注解：（1）在利用罗比达法则求时，要严格检验在自变量的变化过程中：或。如求极限，我们看到当时，分子、分母的极限都是0，属于“0/0”型未定式，但又无零因子可消，从而考虑使用罗比达法则求解，求解过程如下：；又如求极限，我们看到当时，分子、分母的极限都是，属于“”型未定式，从而考虑使用罗比达法则求解，求解过程如下：= =。要注意的是:①求导数是对分子、分母分别求导，而不是对整个分式求导；②罗比达法则可以反复使用，只要应用一次罗比达法则后，分式仍是“0/0”型未定式或“”型未定式。如求极限。（2）如果在自变量的变化过程中：，那么求极限时，要先通分化简或根式有理化等。如。（3）如果在自变量的变化过程中：，如果求极限，则要把它化为“0/0”型，或“”型，即化为：或，然后再选择适当的方法求解。如是“”型未定式，其求解过程如下：。又如也是“”型未定式，其求解过程如下：。应该说明的是，将“”型未定式化为“0/0”型，或“”型时，无必然的规律可言，但一个基本原则是变形后，在用罗比达法则时，使其分子、分母的导数简单，或是分子、分母求导后能够进行化简。（4）利用等价无穷小量代换求极限，可以使求解过程变得简单。如。在求解的第一步是利用了当时，，而做的等价无穷小量代换，随后两步是利用了罗比达法则。（要熟练掌握无穷小量、等价无穷小量的概念，注意常用的等价无穷小量代换有：当时，，，）。（5）若，则，从而把求数列的极限化为函数的极限。 （四）表达式：的含义。设函数 f (x) 在点的某个邻域内有定义,如果当自变量时，对应函数的函数值趋近于常数，即函数的极限存在，且等于函数的函数值，即，那末称函数 f (x)在处连续，称为函数的连续点。连续的三个要素：f (x) 在点处有定义、有极限、极限值等于函数值。如果函数在点处不满足连续的三个要素之一，则称为函数的间断点。在判断分段函数在分段点处是否连续时，我们通常利用定理：函数 f (x) 在点处连续的充要条件是：函数 f (x) 在点处既左连续又右连续。例如设在点处连续，则常数。由于，，函数在点处连续，则要求，即。 二、 导数与微分 （一）符号等的含义：该类符号表示：函数在点的某一邻域内有定义，当自变量x在处取得增量（点+仍在该邻