利用导数探究f(x)是否穿过x轴单调的策略.pdf

中学数学杂志　 ２０１４年第９期　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ　 利用导数探究ｆ （ｘ）是否穿过ｘ轴单调的策略 云南省玉溪第一中学　 　 ６５３１００　 　 武增明 　 　 在高中数学中，有一类函数问题需要利用导数方 是穿过ｘ轴的单增？ｆ （ｘ）在［ｅ，＋ ∞）上是否是穿过ｘ 法探究函数ｆ （ｘ）在区间Ｄ上是否穿过ｘ轴单调递增或 轴的单减？ 单调递减．对此类问题，许多学生找不到突破口，甚至 １ ｌｎｘ ＝ ＝ ＝ ＝ 因为ｆ （ｅ） ＞ ０，ｆ （１） ０，且ｘ ０时，方程 束手无策．以下结合实例探讨判断函数ｆ （ｘ）在区间Ｄ ｅ ｘ 上是否穿过ｘ轴单调递增或单调递减的策略． ｌｎｘ ０无实根，即函数ｆ （ｘ）＝ 无意义（不存在），所以ｆ （ｘ） １　 判断函数ｆ （ｘ）的值的符号 ｘ ＝ ｘ 在（０，ｅ］上是穿过ｘ 轴的单增，且ｘ ０（ｙ 轴）是函数 例１　 已知ａ ∈Ｒ，关于ｘ 的方程 ＝ａ最 ２ ＋ ＋ ｆ （ｘ） 的图象的一条渐近线． ｘ ｘ ２ 多有（　 　 ）个实数解． １ 因为ｆ （ｅ）＝ ＞ ０，在［ｅ， Ａ．１　 　 　 Ｂ．２　 　 　 Ｃ．３　 　 　 Ｄ．４　 　 ｅ ｘ ＋ ∞）上，ｆ （ｘ） ＞ ０，所以ｆ （ｘ） 解析　 原题可转化为函数ｆ （ｘ）＝ 与ｙ ＝ ２ ＋ ＋ 在［ｅ，＋ ∞）上是没有穿过ｘ ｘ ｘ ２ ＝ ｘ 轴的单减，且ｙ ０（ｘ轴）是函 ａ 的交点问题．对函数ｆ （ｘ）＝ 求导后得ｆ′（ｘ） ２ ＋ ＋ 数ｆ （ｘ）在区间［ｅ，＋ ∞）上的 ｘ ｘ ２ 图２