北京科技大学数学模型课件M06稳定性分析.ppt

种群依存模型的平衡点及稳定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡点 稳定条件 不稳定 平衡点 平衡点P2稳定性的相轨线 0 ?11, ?21, ?1?21 P2稳定 ?1?21 ~ ?21 前提下P2存在的必要条件 结果解释 ?21 ~ 甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的 ?2 倍 ?11 ~ ?21, ?1?21 的需要，且?1必须足够小，才能在?21条件下使?1?21 成立 P2稳定条件：?11, ?21, ?1?21 甲可以独自生存 乙不能独立生存 6.5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？ 地中海鲨鱼问题 意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题. 食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 方程(1),(2) 无解析解 食饵-捕食者模型(Volterra) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 t x(t) y(t) 0 20.0000 4.0000 0.1000 21.2406 3.9651 0.2000 22.5649 3.9405 0.3000 23.9763 3.9269 … … … 5.1000 9.6162 16.7235 5.2000 9.0173 16.2064 … … … 9.5000 18.4750 4.0447 9.6000 19.6136 3.9968 9.7000 20.8311 3.9587 用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线 计算结果（数值，图形） x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 观察，猜测 x(t), y(t)的周期约为9.6 xmax? 65.5, xmin ? 6, ymax ? 20.5, ymin ? 3.9 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。 食饵-捕食者模型(Volterra) * 第六章 稳定性模型 第六章 稳定性模型 6.1 微分方程稳定性理论 6.2 捕鱼业的持续收获 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的弱肉强食 稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 的根 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵 特征方程 特征根 线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 特征根 平衡点 P0(0,0) 微分方程一般解形式 平衡点 P0(0,0)稳定 平衡点 P0(0,0)不稳定 ?1,2为负数或有负实部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 (二阶)非线性(自治)方程 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程 的根 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 平衡点 P0稳定(对2,1) p 0 且 q 0 平衡点 P0不稳定(对2,1) p 0 或 q 0 6.2 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续