历年考研数学三真题及答案解析.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线渐近线的条数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数，其中n为正整数，则=（ ） （A） （B） （C） （D） （3）设函数连续，则二次积分=（ ） （A） （B） （C） （D） （4）已知级数绝对收敛，条件收敛，则范围为（ ） （A）0 （B） 1 （C）1 （D）2 （5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A） （B） （C） （D） （6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP= 则 （A） （B） （C） （D） （7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则（ ） （A） （B） （C） （D） （8）设为来自总体的简单随机样本，则统计量的分布（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） （10）设函数___________. （11）函数满足则_______. （12）由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为_______. （13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________. （14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，则_________. 解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 计算 （16）（本题满分10分） 计算二重积分，其中D为由曲线所围区域. （17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+（万元/件）与6+y（万元/件）. 1）求生产甲乙两种产品的总成本函数（万元） 2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义. （18）（本题满分10分） 证明： （19）（本题满分10分）已知函数满足方程及 1）求表达式 2）求曲线的拐点 （20）（本题满分10分） 设 （I）求|A| （II）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解. (21)（本题满分10分） 已知二次型的秩为2， 求实数a的值； 求正交变换x=Qy将f化为标准型. （22）（本题满分10分） 已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P XY 0 1 2 4 P 0 求（1）P(X=2Y); （2）. （23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布， 求（1）随机变量V的概率密度； （2）. 2012年研究生入学考试数学三真题解析 一、 1. 解析：C 由为水平渐近线 由为垂直渐近线 由非垂直渐近线，选（C） 2. 解析： A 选（A） 3. 解析：B 原式= 4. 解析：D 且绝对收敛. 又条件收敛. ，选D 5. 解析：C ,与成比例. 与+线性相关,线性相关，选C 或 线性相关，选C 6. 解析：B ，选B. 7. 解析：D 8. 解析：B 即选B 二、 9. 解析： 解：原式= =. 10. 解析： 4 而 11. 解析： 解：令 则 12. 解析：4 ln2 解： 13. 解析：-27 解： 14. 解析： 解： ，. . 三、 15. 解析：原式 16. 解析： . 17. 解析：1）设成本函数为则 对x积分得， 再对y求导有，， 再对y积分有， 所以， 于是 2）若，则 = 所以，令总成本最小为 3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。 18. 证明：令 时. ,，又. ； 时，，,又. . 为在（-1，1）内最小点，而 当-1x1时. ，即 19. 解析：1) 代入 2） 令 当时. , 当时， 故(0，0)为曲线的拐点. 20. 解析： （I） （II）当及时，Ax=b有无穷多个解. 当时， = 通解为 当时. 通解为 21. 解析：(1)ATA= 秩为2. ( ) (II)令 由 解 当,由即Ax=0