考试统计与测量第五章.ppt

* 第五章 回归分析 §5.1 一元线性回归（一） §5.1 一元线性回归（二） §5.1 一元线性回归（三） §5.1 一元线性回归（四） §5.1 一元线性回归（五） §5.1 一元线性回归（六） §5.2 相关系数的其他表示法（一） §5.2 相关系数的其他表示法（二） §5.1 一元线性回归（一） 回归分析是一种研究变量之间相关关系的统计方法，相关关系是指随机变量与随机变量之间的关系，相关关系和我们熟知的变量间的函数关系是不同的，函数关系是一种确定性关系，由一个变量的值可以精确得出另一个变量的值，例如，圆周长 ，知道了直径d 就一定能得到精确的周长C值。 变量x与y之间相关关系最简单的一种是线性相关关系，即x与y之间可以用线性函数y=a+bx来近似表示它们之间的关系，如果这种关系式成立，我们可以由x的值得出y的估计值。 设x、y为随机变量，如果x与y具有线性相关关系，我们的目的是要通过样本找出x与y之间近似直线方程表达式 (5.1.1) 其中称 为回归直线， 称为回归系数。 一、如何配直线 我们先假定x、y之间存在线性相关关系，要配回归直线，关健在于求出 。 对x、y进行n次独立实验得到n对样本数据 ，代入直线方程y和回归直线方程 ，而y与 之间存在误差，设在每一个 点 处的误差为 。 由于有n个样本点对值，故有n个误差，我们设总误差为 。显然，我们不能用代数和 表示 ，这是因为误差有正有负，代数和中正负各项会抵消，如果用误差的绝对值之和 来表示 ，虽然可以避免上述缺点，但绝对值不便于进行代数运算，因此，我们用各个误差的平方和来表示 ，即 由微积分求极值原理，总误差 达到最小值时， 须满足方程组 (5.1.2) 解此方程组 (5.1.3) (5.1.4) 再把 代入(5.1.1)式，即得到y对x的回归直线方程，我们称以上确定 的方法为最小二乘法。 由于这样选择的 使 达到最小值，因此，回归直线是所有可能直线中最接 近实验数据点的直线，也就是说，用回归直线表示x与y之间的线性相关关系与实际数据的误差比任何其它直线都小。 例1 从某大学数学系一年级抽出１５名学生数学分析成绩和高考数学成绩数据如表5.1，试建立对回归直线方程。 4288 4489 4096 67 64 14 7055 6889 7225 83 85 13 5920 6400 5476 80 74 12 4216 3844 4624 62 68 11 5616 6084 5184 78 72 10 4288 4489 4096 67 64 9 5700 5776 5625 76 75 8 3965 3721 4225 81 65 7 6800 7225 6400 85 80 6 5698 5476 5929 74 77 5 3410 3844 3025 62 55 4 7470 8100 6889 90 83 3 4900 4900 4900 70 70 2 4392 5184 3721 72 61 1 数学分析成绩 高考成绩 ? 表5.1 82083 85070 79515 1120 1083 总和 8370 8649 8100 93 90 15 解：由表5.1中数据得 因此