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前言
本课程包括两大部分:第一部分为概率论部分:第一章至第五章,第五章为承前启后章,第二部分为数理统计部分:第六章至第九章。
第一章 随机事件与概率本章概述
内容简介
本章是概率论的基础部分,所有内容围绕随机事件和概率展开,重点内容包括:随机事件的概念、关系及运算,概率的性质,条件概率与乘法公式,事件的独立性。
本章内容
§1.1 随机事件
1.随机现象:
确定现象:太阳从东方升起,重感冒会发烧等;
不确定现象:
随机现象:相同条件下掷骰子出现的点数:在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等;
其他不确定现象:在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论:随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间
随机试验举例:
E1:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。
E2:掷一枚骰子,观察出现的点数。
E3:记录110报警台一天接到的报警次数。
E4:在一批灯泡中任意抽取一个,测试它的寿命。
E5:记录某物理量(长度、直径等)的测量误差。
E6:在区间[0,1]上任取一点,记录它的坐标。
随机试验的特点:①试验的可重复性;②全部结果的可知性;③一次试验结果的随机性,满足这些条件的试验称为随机试验,简称试验。
样本空间:试验中出现的每一个不可分的结果,称为一个样本点,记作。所有样本点的集合称为样本空间,记作。
举例:掷骰子:={1,2,3,4,5,6},=1,2,3,4,5,6;非样本点:“大于2点”,“小于4点”等。
3.随机事件:样本空间的子集,称为随机事件,简称事件,用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件:一定发生的事件,记作
不可能事件:永远不能发生的事件,记作
4.随机事件的关系和运算
由于随机事件是样本空间的子集,所以,随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理,并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
(1)事件的包含和相等
包含:设A,B为二事件,若A发生必然导致B发生,则称事件B包含事件A,或事A包含于事件B,记作,或。
性质:
例:掷骰子,A:“出现3点”,B:“出现奇数点”,则。
注:与集合包含的区别。
相等:若且,则称事件A与事件B相等,记作A=B。
(2)和事件
概念:称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件,或称为事件A与事件B的并,记作或A+B。
解释:包括三种情况①A发生,但B不发生,②A不发生,但B发生,③A与B都发生。
性质:①,;②若;则。
推广:可推广到有限个和无限可列个,分别记作和
举例:A:“掷骰子出现的点数小于3”与B:“掷骰子点数大于4”则A∪B{1,2,5,6}
(3)积事件
概念:称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件,或称为事件A与B的交,记作A∩B或AB。
解释:A∩B只表示一种情况,即A与B同时发生。
性质:①,;② 若,则AB=A。
推广:可推广到有限个和无限可列个,分别记作和。
举例:A:“掷骰子出现的点数小于5”与B:“掷骰子点数大于2”则AB={3, 4}
(4)差事件
概念:称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记作A-B.
性质:① A-;② 若,则A-B=。
举例:A:“掷骰子出现的点数小于5”与B:“掷骰子点数大于2”则A-B={1,2}
(5)互不相容事件
概念:若事件A与事件B不能同时发生,即AB=,则称事件A与事件B互不相容。
推广:n个事件A1,A2,…,An两两互不相容,即AiAj=,i≠j,i,j=1,2,…n。
举例:A:“掷骰子出现的点数小于3”与B:“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。
(6)对立事件:
概念:称事件“A不发生”为事件A的对立事件,记做.
解释:事件A与B互为对立事件,满足:①AB=ф;②A∪B=Ω
举例:A:“掷骰子出现的点数小于3”与B:“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立
性质:①;
②,;
③A-B==A-AB;
注意:教材第5页的第三条性质有误。
④A与B相互对立A与B互不相容.
小结:关系:包含,相等,互不相容,互为对立;
运算:和,积,差,对立.
(7)事件的运算性质
①(和、积)交换律 A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;
②(和、积)结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);
③(和、积)分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
④对偶律 ;.
例1 习题1.1,5(1)(2)
设A,B为两个随机事件,试利用事件的关系与运算证明:
证明:
证明:
例2.习题1.1,6
请用语言描述下列事件的对立事件:
(1)A表示“抛两枚硬币,都出现正面”;
答案::“抛两枚硬币,至少有一枚出现反面”。
(2)B表示“生产4个零件,至少有1个合格”。
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