文科_经管类__微积分__第七章.pptVIP

§7.1 二元函数的基本概念 一、区域 二、二元函数概念 四、二元函数的连续性 §7.2 偏 导 数 一、偏导数的定义及其计算法 §7.3 全微分及其应用 复习一元函数的微分 §7.4 多元复合函数的求导法则 §7.5 隐函数的求导法则 §7.7 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 §7.7 多元函数的条件极值及其求法 二、条件极值 拉格朗日乘数法 §7.8 二重积分的概念与性质 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 例2. 计算 二重积分的计算法 二、利用极坐标计算二重积分 性质1 性质2 下页 性质3 当 时, 性质4 (区域可加性) 如果闭区域D划分为两个闭区域D1与D2, 则 三、二重积分的性质 性质1 性质2 性质4 性质3 如果闭区域D划分为两个闭区域D1与D2, 则 下页 此性质的几何意义是：以Ｄ为底、以1为高的平顶 柱体的体积在数值上等于柱体的底面积. 性质5 (单调性) 如果在D上, f(x, y)?g(x, y), 则有不等式 性质5 (单调性) 设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的面积, 则有 如果在D上, f(x, y)?g(x, y), 则有不等式 性质6 (估值定理) 证: 因为 所以 设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的面积, 则有 　　　　　设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s为D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得下式成立: 性质6 (估值定理) 性质7 (二重积分的中值定理) 证: 因为 所以 D1 x 0 z y D２ 性质8: x y D 性质8的几何意义： x y z x y z 一边是楼房，一边是地下室． 则区域D内的点(x,y)均 满足x+y≥1,从而 例1 比较下列二重积分的大小： 0 y x 1 1 2 x + y =1 x + y 1 P(a,b) . x y o a b 平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系. 有时用别的坐标系比较方便. 还有什么坐标系呢？ 5 浬 （1）距离：5 浬； （2）方向：东偏北20o. o x 20o 极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，当平面内既建立极坐标系又建立直角坐标系时, 平面内一个点M既有极坐标 又有直角坐标 . 因此有　　　　　　　． 解　以x=rcos?, y=rsin?代入，得 ， 所以，以极点为圆心、半径为1的圆的极坐标方程为 　　　　　r=1,　　(0??2?). 例6 化圆的直角坐标方程 为极坐标方程． 以直角坐标方程F(x,y)=0表示的曲线，立即可以转化为以极坐标表示的方程： F(x,y)=0 ? F(rcos?,rsin?)=0 有了极坐标和直角坐标转换公式　　　　　　　 　　　　可以发现，有时以极坐标表示的方程，远比以直角坐标表示的方程简单． 例 化直角坐标方程 解: 方程为　 为极坐标方程． 以x=rcos?, y=rsin?代入，得 即 因此极坐标方程为 4. 平面区域的极坐标表示法实例 将平面区域视为分布在某个角度内的无穷条射线（段）束的组合. Ｄ称为“曲边三角形”或“曲边扇形”． 曲边的极坐标方程为r = r(?)， D的最小极角为?，最大极角为?． 此时，D : 0? r ? r(?), ? ? ? ? ?. x y ? ? D r = r(?) 0 一般情况下,用极坐标表示D时, 总是首先确定 的取值范围. 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 故 故有 则 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 可确定隐函数 设 记 极值点 必满足 引入辅助函数 极值点　　必满足 则极值点 必满足 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用构造拉格 朗日