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这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多.doc
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x 2-x(2003淮安市中考题) x -2x2 -x=x(x2 -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b2 (2003南通市中考题) 解:a +4ab+4b2 =(a+2b) 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析: ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x +6x-40 解x +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40 =(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7] =(x+10)(x-4) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 例7、分解因式2x –x3 -6x2 -x+2(也叫相反式,在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的,如四次项与常数项对称,系数相等,解法也是把对称项结合在一起) 解:2x –x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2 =x2 {2[x2 + ()2]-(x+ )-6}令y=x+ , X2 {2[x2 +( )2]-(x+)-6} = x2 [2(y2 -2)-y-6] = x2 (2y2 -y-10) =x 2(y+2)(2y-5) =x2 (x+ +2)(2x+ -5) = (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2) =(x+1)2 (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) (一般情况下是试根法,并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)例8、分解因式2x +7x3 -2x2 -13x+6 解:令f(x)=2x +7x3 -2x2 -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)……(x-xn ) 例9、因式分解x +2x2 -5x-6 解:令y= x +2x2 -5x-6 作出其图象与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) 分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 解:a (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a
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