工程力学 教学课件 作者 于荣贤 工程力学第6章.pptVIP

* 第6章 圆轴的扭转 学习目标: 理解圆轴扭转、连接件的剪切和挤压的概念，掌握扭矩、剪力、切应力及变形的计算方法，应用强度、刚度条件解决工程问题。 6．1扭转的概念与实例 工程中常遇到受扭转的构件，如图6-1所示轧钢机中带动轧辊转动的传动轴，通过对这类杆件的受力和变形分析，可知它们的共同特点是：在杆件的两端垂直于杆件轴线的平面内，作用有大小相等、转向相反的两个力偶；各横截面都绕杆的轴线产生相对转动，但杆的轴线位置和形状保持不变，这种变形称为扭转。以扭转为主要变形的杆件称为轴。 本章主要研究在单纯扭转变形下圆轴的强度和刚度问题。 图6-1扭转实例 6．2圆轴扭转时横截面上的内力 6．2．1外力偶矩的计算 在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、转速和外力偶矩三者之间的关系，即 式中M——作用于轴上的外力偶矩, 单位N·m； P——轴所传递的功率，单位kW； n——轴的转速，单位r/min。 6．2．2圆轴扭转时横截面上的内力——扭矩 圆轴横截面上的内力采用截面法求得。如图6-2a所示，轴上装有四个轮子，所传递的力偶矩分别为MA=3KN.m，MB=10KN.m，MC=4N.m，MD=3N.m。若计算BC段任意截面上的内力，可假想在该段内沿II-II截面截开，将轴分成两部分，任取一部分为研究对象，例如取左端（图6-2b），由于整个轴是平衡的，该部分也必须处于平衡状态，则截面上必然存在一个内力偶矩Mn与外力偶矩平衡，方相如图所示。该内力偶矩Mn称为扭矩。其大小由平衡条件求得：由 得 （1） 若取右边部分为研究对象，用同样方法可求得： （2） 图6-2扭矩的计算 由式（1）和（2）可确定计算扭矩的规律：任意截面上的扭矩等于研究对象（左或右）一侧所有外力偶矩的代数和。外力偶矩的正负可由右手螺旋法则确定，即用右手拇指指向与截面外法线方向，四指转向与外力偶矩相反者为正，相同者为负。如图6-3所示，表示扭矩转向与正负关系。 图6-3扭矩的符号规定 6．2．3扭矩图 为了直观地表示圆轴上扭矩的变化情况，以便确定最大扭矩及其所在截面的位置。通常把圆轴的轴线作为x轴（横坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩Mn，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。图6-2d即为图6-2a轴的扭矩图，其中最大扭矩在BC段，其值Mnmax=7KN.m 例6-1 传动轴如图6-4a所示。已知A轮输入的功率PA=15KN.m，B、C轮输出功率分别为PB=9KW，Pc=6KW，轴的转速n=200r/min，试绘制该轴的扭矩图。 解：1)计算各轮上的外力偶矩 2)计算各段扭矩值 BA段 AC段 3）绘制扭矩图如图6-4b所示。 图6-4传动轴 6．3圆轴扭转的切应力 6．3．1变形几何关系 取一等截面圆轴，在其表面上作出两条平行于轴线的纵向线和两条圆周线如图6-5所示。再在圆轴的两端分别作用一个外力偶M，使杆件发生扭转变形。由图6-5可以看到以下变形现象：各圆周线的形状、大小、间距保持不变，只绕轴线作相对转动；各纵向线倾斜了一个相同的角度γ，由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平形四边形。 图6-5圆轴扭转变形 由上述表面现象，可以推断出：圆轴扭转前，各横截面为平面，扭转后仍保持为平面，且相互平行，只是相对转过了一个角度，这就是圆轴扭转时的平面假设。 根据平面假设，可得如下结论：①由于相邻横截面的间距不变，杆件无纵向伸长和缩短，因此横截面上无正应力作用。②由于相邻横截面发生绕轴线的相对转动，所以横截面上必有垂直于半径方向的切应力。切应力用符号τ表示。 在圆轴上取一微段dx，如图6-6所示，右截面相对于左截面转过了一个角度dφ，半径由O2C转至O2C1.。在图中任取一距圆心为ρ的内层圆柱面，该面上的纵向线EF倾斜到了EF1，倾斜角为γρ，此倾斜角度称为且应变。在弹性范围内，切应变γρ是很小的，故由图中几何关系可得： 即 （10-1） 对于给定的横截面，dφ/dx为常量，叫做单位长度扭转角。故由此式可知，横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。 图6-6微段扭转轴 （10-2） 6．3．2横截面上切应力的分布 根据剪切虎克定律：当材料所受剪应力不超过材料的剪切弹性极限时，则有 将式（10-1）代入（10-2）中，可得 （10-3） 式中G—为材料的切变模量，其数值可由实验测得，常用单位为GPa。 ρ—为截面上离轴心的距离，单位