工程力学 教学课件 作者 于荣贤 工程力学第7章.ppt

图7-28等强度梁 7．8梁的弯曲变形 梁在外力作用下，产生弯曲变形，如果弯曲变形过大，就会影响结构的正常工作。以车床为例，若其弯曲变形过大，将使齿轮不能很好地啮合，造成磨损不均匀，降低使用寿命，影响加工零件的精度。因此，我们必须研究梁的变形问题，以便把梁的变形限制在规定的范围之内，保证梁的正常工作。 7．8．1挠度和转角 梁受外力作用后，它的轴线由原来的直线变成了一条连续而光滑的曲线（图7-29），称为挠曲线。因为梁的变形是弹性变形，所以梁的挠曲线也称为弹性曲线。挠曲线可表示为 ，称为挠曲线方程。 梁的变形可以用挠度和转角两个基本量来度量。 1．挠度 梁任意横截面的形心沿y轴方向的线位移，称为该截面的挠度，通常用y表示，并规定向上的挠度为正；向下的挠度为负。挠度的单位与长度的单位一致，用m或mm。由于弯曲变形属于小变形，梁横截面形心沿x轴方向的位移很小，可忽略不计。 2、 转角 在弯曲过程中，梁任一横截面相对于原来位置所转过的角度，称为该截面的转角，用θ表示。因为变形前后，横截面始终垂直于梁的轴线，因此，截面转角θ就等于挠曲线在该处的切线与x轴的夹角（或法线与y向的夹角）。转角的单位是弧度（rad）。一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针方向的转角为负。 图7-29 梁的变形 求变形的基本方法是积分法。由于该方法计算过程较繁，本书中不作介绍。为了应用方便，表7-3中列出了常见梁在单载荷作用下的挠度和转角公式，以供查用。 7．8．2用叠加法计算梁的变形 在材料服从虎克定律且变形很小的前提下，梁的挠度和转角都与梁上的载荷成线性关系。当梁同时受到几个载荷作用时，可用叠加法计算梁的变形。即先分别计算每一种载荷单独作用时所引起的梁的挠度和转角，然后，再把同一截面的转角和挠度代数相加，就得到这些载荷共同作用下的该截面的挠度和转角。 例7-13 一简支梁AB，已知EIz,所受载荷情况如图7-30a所示，试求C点的挠度。 图7-30简支梁变形 解：用叠加法求C点的挠度，分别画出均布力q和集中力P单独作用时的计算简图。 查表可知，当均布力q单独作用时（图7-30b）， 2、当集中力P单独作用时（图7-30c），C点的挠度yc2查表可知 3） q和P同时作用时 表7-3 单一载荷作用下梁的变形 7．8．3梁的刚度校核 在工程实际中，对梁的刚度要求，就是根据不同的工作需要，对其最大挠度和最大转角限制在所规定的允许值之内，即： （7-7） （7-7）式称为梁的刚度条件， 和 为梁产生的最大转角和最大挠度的绝对值， 和 分别为梁的许用转角和需用挠度，其值可从有关手册或规范中查得。 例7-14 图7-31所示车床主轴受力简图，若工作时最大主切削力F1=2KN，F2=1KN，空心轴外径D=80mm，内径d=40mm，l=400mm，a=200mm，E=210Gpa，截面C处的许可挠度[y]=0.0001l，试校核其刚度。 图7-31车床主轴 解：受力简图b可分解为图c和图d 1）截面惯性矩 2）c图查表计算，得 3）d图查表计算，得 4）由叠加法求挠度yc 5.许用挠度[y]=0.0001l=0.0001╳400=4╳10-2mm 比较可知，yc[y]满足刚度条件。 如果图7-31中齿轮受的径向力F2指向向下，这时由F2力将使C点向上移动，即： 这样，C截面的挠度为， 所以，主轴如果这样受力，刚度条件就不能满足。 本章小结 1．梁的内力 梁的平面弯曲横截面上有两种内力-剪力和弯矩，任意截面剪力大小等于截面一侧所有外力的代数和，“左上右下，剪力为正”；任意截面弯矩大小等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，“左顺右逆，弯矩为正”。 2．剪力图和弯矩图 根据受力图与剪力图、弯矩图的特点，快速画出剪力图和弯矩图。在集中力作用点，剪力图发生突变，弯矩图转折；在集中力偶作用点剪力图不变，弯矩图突变；在均布载荷作用下，剪力图为倾斜直线，弯矩图为抛物线。 3．应力 平面弯曲时，横截面上存在两种应力，剪力产生的剪应力，沿截面切向；弯矩产生的正应力，垂直截面，沿截面高度线性分布，其计算公式为： 最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的上下边缘，计算公式为： 或 4．截面惯性矩Iz和Wz抗弯截面系数 矩形： 圆形： 5.强度条件 1）塑性材料： 2）脆性材料： 6．提高梁的抗弯能力的措施 常用的方法有：降低最大弯矩，合理配置载荷，选择合理的截面形状。 7．梁的变形 根据叠加法计算梁的挠度y和转角θ。 8．梁的刚度条件： 思 考 题 7-1何谓平面