工程力学 教学课件 作者 于荣贤 工程力学第9章.pptVIP

* 第9章 压杆的稳定 学习目标： 了解压杆稳定的概念，掌握细长压杆的临界力及压杆稳定性计算。 9．1压杆稳定的概念 前面研究受压直杆时，认为它的破坏主要取决于强度，并规定杆件的工作应力必须小于它的许用应力，以保证杆件安全地工作。实际上，这个结论只对短粗的压杆才是正确的，若用于细长压杆，将导致错误的结果。例如，取一块截面积为100mm2，高为10mm的木板，若要用一个人的力气将它压坏，显然是困难的，若压得是一根截面尺寸相同，而长为1m的木杆如图9-1所示，则情况大不一样，用不大的力它就将其压弯，再使劲，它就折断了。这表明对压杆来说，短杆和细长杆产生破坏的性质是不同的。短杆是强度问题，而细长杆则是能否保持原有直线平衡状态的问题，即为稳定性问题。工程上把压杆保持它原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性。 图9-1细长压杆 图9-2细长压杆实例 工程中有许多细长杆，如千斤顶的螺杆（图9-2a），内燃机的连杆（图9-2b），机床的丝杆等，都必须保证具有足够的稳定性，才能正常工作。 做如下实验。如图9-3a所示取一细长圆杆，在杆端加轴向力P。当力P不大时，压杆保持直线平衡状态。此时若给杆加一横向干扰力Q，杆便发生微小弯曲。当突然去掉干扰力后，杆就会左右摆动，且摆动幅度越来越小。杆经过几次摆动后，仍恢复为原来的直线平衡状态（图9-3b ），这说明压杆原有直线形状的平衡是稳定的。但当压力P增大到某一值Plj时（P=Plj），杆在同样大小的横向力干扰下发生弯曲，当此时去掉干扰力后，杆件不能恢复原有的直线状态，而处于微弯的平衡状态（图9-3c）。再增加压力（PPlj），杆的弯曲将明显增大，直至折断。这说明压杆原有直线状态的平衡，是不稳定的。 图9-3压杆稳定性试验 由上述分析可知，细长压杆的直线平衡状态是否稳定，取决于压力P的大小，当压力P在0≤P≤Plj时，压杆处于稳定的直线平衡状态。当压力PPlj时，压杆就会失稳。当P=Plj时，标志着压杆由稳定平衡状态转化为不稳定平衡状态的临界状态。对应于这种临界状态的压力值Plj，称为临界压力或临界力。也可以说，临界力Plj就是压杆保持稳定平衡状态的极限载荷。因此，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定临界力Plj。 应该指出，即使没有干扰力作用，当轴向压力P≥Plj时，压杆也可能出现失稳现象，这是由于对压杆起干扰作用的因素常常是不可避免的，如加载的偏心或周围环境的微小振动等，都起着干扰力的作用。 (9-1) 式中Imin——压杆横截面的最小惯性矩； μ——与支承情况有关的长度系数，其值见表9-1； l——压杆长度 表9-1 不同支座情况时的长度系数 9．2细长压杆的临界力 9．2．1欧拉公式 俄国科学家欧拉通过一系列的实验发现，细长压杆临界力的大小与它的刚度EI成正比，与它的长度l的平方成反比，并且与它两端的支承情况有关。他从理论上推导出了计算压杆临界力的公式，故称为欧拉公式。即 9．2．2临界应力 压杆在临界力作用下横截面上的应力，称为临界应力，以σlj表示，即 若令： , 代入上式，则得到另一形式的欧拉公式，即 (9-2) 式中——截面的最小惯性半径； λ ——压杆的柔度（或细长比，无单位）） λ是表示压杆柔性大小的量，用它可以反映杆长、杆端支承情况以及杆的横截面形状和大小等因素对临界应力的综合影响。λ值愈大，则杆愈细长；反之，则杆愈短粗。式（9-2）表明，对于一定材料制成的压杆，π2E是常数，σlj与λ2成反比。因此，柔度λ愈大，则临界力愈小，压杆就愈容易失去稳定。所以柔度是压杆稳定计算中一个重要的物理量。 2．3欧拉公式的适用范围 因为欧拉公式是在材料服从虎克定律的条件下得出的，所以必须在临界应力小于比例极限的条件下欧拉公式才能适用，即 （9-3） 若将上面的条件用柔度λ来表示，则可写为 式中 λp——压杆的极限柔度。它是适用欧拉公式的最小柔度值。λ≥λp的压杆，工程上称为细长杆或大柔度杆。 由式（9-3）可知，λp值仅取决于材料的力学性能。例如Q235钢， E=210Gpa, σ