工程力学 教学课件 作者 于荣贤 工程力学第13章.pptVIP

* 第13章 动能定理 学习目标： 掌握常见力功的计算方法，理解质点及质点系的动能，应用动能定理解决实际问题。了解功率概念并会计算。 为了解决工程上的动力学问题，前面我们讨论了动力学基本定律；质点运动微分方程；以及刚体绕定轴转动的动力学基本方程。对某些工程动力学问题，用以上方法可以方便地解决。在动力学问题分析中可知，物体运动状态的变化和外力的机械作用是分不开的，它们之间的转换关系可用动能定理来揭示。动能定理不仅能揭示机械运动转化为其它运动形式的规律，而且动能定理也是解决动力学问题的另外一种行之有效的计算方法。 13．1常见力的功 13．1．1不变力的功 设质点M在不变力(大小和方向都不变的力)F作用下沿直线运动(图13-1)。 S表示位移。将力F沿速度方向和垂直于速度方向分解为分力 和 ，因质点是沿水平方向运动，故只有水 才使质点改变运动状态，垂直分力 对质点的水平运动没有影响。因此，我们把力F在速度方向的 与位移S的乘积，称为力F在位移S上对质点所作的功。以W表示，即 （13-1） 表示力和运动方向的夹角， 平分力 投影 图13-1不变力做功 由上式可以看出：当 时，力作正功；当 时，力作负功； 时，力不作功。可 见，功是代数量。 上式说明：重力的功等于物体重力与重心始末位置高度差的乘积，与物体运动的轨迹无关。重物由高至低作正功；反之，由低至高作负功。 功的单位是力的单位与长度单位的乘积，在我国《量和单位》国家标准中为牛[顿]米(N·m)，称为焦耳(J)。 物理学中讨论过的重力的功可视为不变力的功。如重为G的物体沿曲线由位置A运动到位置B，其位置高度差为h(图13-2)，重力G在这段路程上所作的功为： （13-2 ） 图13-2重力做功 13．1．2变力的功 设质点M在变力F(大小变化或方向变化或两者都变化的力)作用下沿曲线 运动(图13-3)。若求力 上所作的功，可将路程S分成无限多个小微段 ，可以视 地把F看作常力。于是，力在此微段路程上所作的功称为元功，即 F在路程 为直线且在微段内近似 式中 ——力F与轨迹切线方向的夹角。变力F在整个路程S上对质点所作的功等于此路程内所有元功 的总和，即 （13-3） 上式表明，变力在曲线路程上所作的功等于其切向分力的元功沿路程的积分。 图13-3变力做功 工程上经常遇到变力作功的问题。下面分述如下。 1．作用在定轴转动刚体上力的功 设刚体绕定轴O转动，力F作用于刚体上的A点(图13-4)，若刚体转动一微小转角 时，则点A有微小位移 ，于是力F在位移 中的元功为， 因为 O的力矩 ，所以 当物体绕O轴转过 角时，力F的总功为： （13-4） 于是可得结论：当物体绕定轴转动时，作用在物体上的力所作的功，等于该力对转轴之矩对物体转角的积分。 若力矩 为常量时，则 （13-5） 当力矩与物体转向相同时，力矩作正功；反之为负功。式中 是焦耳(J)。 等于力F对于转轴 的单位为弧度(rad)，力矩功的单位也 图13-4力矩的功 2．弹性力的功 图13-5所示的弹簧，一端固定，另一端系住作水平直线运动的物块M(可简化为质点)。设弹簧原长为 ，刚性系数为C(N／m)。当弹簧处于原长时质点所在的位置O称为平衡位置。当质点偏离平衡位置使弹簧产生拉伸或压缩时，弹簧将对质点作用一弹性力F，此力企图使质点回复到平衡位置，因此弹性力的方向恒指向平衡位置O，即弹性力的方向与伸长(或缩短)的方向总是相反。当弹簧的变形在弹性范围内时，由物理学知，弹性力的大小与弹簧的变形量成正比，即 若求质点从 位置运动到 位置时弹性力F所作的功，可取弹簧的平衡位置O为坐标原点，在距原点x处取微段dx，则弹性力在微小位移dx内的元功为 因此，质点从 位置到 位置，弹性力所作的功为 （13-6） 故弹性力的功等于弹簧初变形平方与末变形平方之差乘以弹簧刚性系数之半。当初变形大于末变形时，功为正；当初变形小于末变形时，功为负。弹性力的功只与弹簧的始末变形有关，而与质点运动的轨迹形状和路程长度无关。 图13-5 弹性力做功 例13-1 原长 ，刚性系数 的弹簧，一端固定在O点，另一端在B点(图