工程力学基础 教学课件 作者 徐博侯 第8章 离散系统的拉格朗日方程.ppt

8.1 理想约束.虚位移原理和  达朗贝尔－拉格朗日方程 例8.1 如下图所示，质点 m 被约束在一光滑的水平平台上运动，质点上系一根长为 l 的轻质绳子穿过平面上的光滑小孔O，另一端挂着一个质点M。讨论质点M的运动。 8.3 理想、完整系统的拉格朗日方程 由于体系是理想、完整的，我们将完整的约束条件式(8．11)代入到理想约束的达朗贝尔一拉格朗日方程式(8．10)中去，除其中不独立的坐标，可以得到所需的方程。 以 表示独立坐标，整个体系的位置可确定表示为 8.4 拉格朗日方程对平衡问题的应用 8.5 小 结 本章的中心问题是理想完整系统的拉格朗日方程： 1.把牛顿第一定律用虚位移原理表示，其最大优点是在原理中不出现(理想)约束力。 2.在虚位移原理中引入惯性力，从而把虚位移原理的应用范围扩大到动力学。 3.将动力学普遍方程进行等价变换，写成拉格朗日函数的形式，就是第二类拉格朗日方程。 例8.17 图8.18中的刚体可绕过点O的水平轴转动（复摆）。假定刚体的质量为m，绕重心C的转动惯量 ， 。求此刚体的运动方程。 解：取转动角 为广义坐标，则 由式（8.20）得 第8章 8.1 理想约束、虚位移原理 和达－拉方程 8.2 完整约束和 广义坐标 8.3 理想、完整系统 的拉格朗日方程 8.3.4 第二类拉格朗日方程 成立的条件及讨论 (1)方程(8．20)是最常用的一种拉格朗日方程。它成立的条件是系统所受的约束是理想的和完整的，主动力都是保守的。 (2)这里讲到的约束都是指运动学约束，而不是动力学约束。约束方程中出现的都是位移、速度、时间等，而没有力。约束力以外所有的力都称为主动力。 第8章 8.1 理想约束、虚位移原理 和达－拉方程 8.2 完整约束和 广义坐标 8.3 理想、完整系统 的拉格朗日方程 (3) 如果主动力都是保守的，则可以应用方(8.20)； 如果主动力是非保守的，则只能应用方程(8.18)。 有时一部分主动力是保守的，另一部分是非保守的，则我们可以把保守部分的势能并入拉格朗日函数，在方程右边只保留非保守力 式中 ，与 对应的广义力 为非保守的广义力。 (8.24) 第8章 8.1 理想约束、虚位移原理 和达－拉方程 8.2 完整约束和 广义坐标 8.3 理想、完整系统 的拉格朗日方程 例题 在光滑平台上的弹簧－阻尼－质量块系统。质量块m受到两个主动力：弹簧力和阻尼力。弹簧力是保守的，势能函数是 阻尼力为非保守的， 取 由方程(8.24)可得弹簧－阻尼－质量块的运动方程 第8章 8.1 理想约束、虚位移原理 和达－拉方程 8.2 完整约束和 广义坐标 8.3 理想、完整系统 的拉格朗日方程 (4)拉格朗日方程和牛顿动力学方程的几点比较： 拉格朗日方程的形式较为简洁。约束越多，优点就越明显。 牛顿动力学方程是从物体受力的角度讨论，而拉格朗日方程是从能量的角度讨论。 牛顿动力学方程的力学意义清楚，有时可以直接根据力学意义列出方程，比较直观。 (5)应用拉格朗日方程的两个注意点： 拉格朗日方程涉及的动能、势能等，是对整个力学系统而言的，所以首先要分清系统和外界。 T、V代入方程前必须利用约束条件将所有的坐标及其对时间微商，全部换成广义坐标和广义速度。 第8章 8.1 理想约束、虚位移原理 和达－拉方程 8.2 完整约束和 广义坐标 8.3 理想、完整系统 的拉格朗日方程 当所有变量均与时间无关时，拉格朗日方程就可以用来求解静力学问题。 静力学的两个基本问题； (1)在已知主动力的作用下，求体系处于平衡状态时的位置。 (2)求体系平衡时各部分受到的约束力的大小和方向。 对第一类问题，用拉格朗日方程求解特别容易。 对