工程流体力学 教学课件 作者 闻建龙 第八章 粘性流体动力学基础.ppt

第八章　粘性流体动力学基础 流体微团的运动形式与速度分解定理 1、流体微团运动的基本形式 流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运 动（线变形和角变形运动）。 以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有 将上式分别加、减下列两项 得到 如果令： 综合起来，有 对于y,z方向的速度分量，也可得到 写成矢量形式 其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的， 第三项表示微团变形引起的。 定义如下： 流体微团平动速度： 流体微团线变形速度： 流体微团角变形速度（剪切变形速度）： 流体微团旋转角速度： 3、有旋运动与无旋运动 流体质点的涡量定义为 表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋 流动与有旋运动。 4、变形率矩阵（或变形率张量） 在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中 称 为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力存在直接关 系。 定义，流体微团的变形率矩阵为 该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有 三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是： 对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度， 或流体微团的相对体积膨胀率。 如果选择坐标轴是三个变形率矩阵的主轴，则此时变形率矩阵的 非对角线上的分量为零，相应的变形率矩阵与不变量为 粘性流体的应力状态 1、理想流体和粘性流体作用面受力差别 流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具 有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在 相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面 上的力只有正向力，无切向力。 粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有 抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也 有切向力。 2、粘性流体中的应力状态 在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表 面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此， 作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果 作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂 直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于 另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向 表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应 力分量的投影方向。如，对于x面的合应力可表示为 y面的合应力表达式为 z面的合应力表达式为 如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任 意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐 标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的 矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量 中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩 阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。 （1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即 （2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即 （3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。 广义牛顿内摩擦定理（本构关系） 1、牛顿内摩擦定理启发 牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的 切应力与速度梯度成正比。即 如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有 说明应力矩阵与变形率矩阵 成正比。对于一般的三维流动， Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广， 提出广义牛顿内摩擦定理。 2、Stokes假设（1845年） (Stokes，英国数学家、力学家，1819-1903年） （1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体 的平动和转动无关。 （2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位 置无关。 （3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。 由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力， 无切应力。即 因此，在静止状态下，流体的应力状态为 根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率 矩阵写成如下