工程数学 教学课件 作者 周忠荣 等编著 第6章 随机变量的数字特征.ppt

第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 第6章 随机变量的数字特征 本章主要内容 离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、方差与标准差等概念 数学期望和方差的计算 数学期望的性质、方差的性质等基本知识 重要分布的数学期望和方差的计算公式 大数定律与中心极限定理 第6章 （续） 在实际问题中，或许随机变量的概率分布很难求得，或许只需要知道随机变量的某些综合特征。 例如，某中学需要知道全校男生和女生的平均身高和身高分布的离散程度。因此，有必要引入用来刻画随机变量的平均值以及随机变量与其平均值的偏离程度的量，这就是本章将要介绍的数学期望和方差。它们是随机变量的两个最重要的数字特征。 6.1 离散型随机变量的数字期望 实例6-1 某幼儿园记录全园小朋友每天生病人数，连续记录了50天，得到的数据如下表所示。求该幼儿园的小朋友每天平均生病人数。 6.1 （续一） 这个问题可以这样解：先求出这50天内生病总人数，再除以50，即 (0×2＋1×10＋2×15＋3×12 ＋4×9＋5×2)/50 ＝122/50＝2.44 6.1 （续二） 这个问题也可以换一种方法解：用X表示从全园小朋友每天生病人数，则X是一个随机变量；再用频率作为概率的估计值，那么X的概率分布如下表所示，则具体的计算过程如下： 6.1 （续三） 定义6-1 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X＝xi}＝pi (i＝1,2,…) 若随机变量X的所有可能取值为有限个：x1, x2,…, xn，则称和式 为随机变量X的数学期望，记作E(X)或EX，即 6.1 （续四） 若随机变量X的所有可能取值为无限可列个：x1, x2,…，且无穷级数 绝对收敛，则称 为随机变量X的数学期望，即 6.1 （续五） 为了简化叙述，以后不再对离散型随机变量X的所有可能取值的上述两种情形分别介绍，需要时以无限可列个的情形予以讨论。这样就可以用以下统一记号表示离散型随机变量X的数学期望： (6-1) 数学期望又称为期望或均值。 6.1 （续六） 例6-1 两个工厂生产同样一种产品，都有一等品、二等品和次品。某商场销售该产品，其中销售一件一等品赢利20元；销售一件二等品赢利15元；发现一件次品亏损30元。已知第一个工厂生产的产品中一等品、二等品、次品分别占75%、20%和5%；第二个工厂生产的产品中一等品、二等品、次品分别占85%、9%和6%。问从哪一个工厂进货销售可以获取较多的利润？ 6.1 （续七） 解 这个问题实际上是问从哪一个工厂进货销售的获利期望较大。设第一、第二个工厂产品的随机变量分别是X和Y，它们的所有可能取值都是20、15、－30，但概率不同。按题给数据，X和Y的概率分布见下表。 6.1 （续八） 续解 所以获利的数学期望分别为： E(X)＝20×0.75＋15×0.2＋(－30)×0.05＝16.5 E(Y)＝20×0.85＋15×0.09＋(－30)×0.06＝16.55 通过计算知，E(Y) E(X)。从第二个工厂进货销售可以获取较多的利润。 6.1 （续九） 例6-2 证明二项分布X~B(n,p)的数学期望E(X)＝np。 证明 对于二项分布X~B(n,p)，由于 (i＝0,1,2,…,n) 所以 6.1 （续十） 续证 6.1 （续十一） 例6-3 证明泊松分布 的数学期望 。 证明 对于泊松分布 ，由于 所以 6.2 连续型随机变量的数字期望 对于连续型随机变量，也需要有一个反映随机变量取值的“平均”的数字特征，但不能用式(6-1)计算它的数学期望。 6.2 （续一） 如果连续型随机变量X的概率密度为 考虑区间[a,b)，将区间[a,b)任意分成n个首尾相连的小区间，且每个小区间都含左端点，不含右端点，其长度分别为 在每个小区间上任取一点，这些点分别为 6.2 （续二） 其对应的概率密度值分别为 这样，连续型随机变量在每个小区间上取值的概率近似为 由于“离散型随机变量的数学期望等于其所有可能的取值与对应概率乘积之和”，当a＜0，b＞0，且|a|与|b|都充分大时，总和 6.2 （