工程数学 教学课件 作者 周忠荣 等编著 第8章 傅里叶变换.ppt

第8章 傅里叶变换 周忠荣 编 第8章 傅里叶变换 本章主要内容 傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换、卷积等概念 傅里叶积分的复数形式、傅里叶积分公式、傅氏积分定理 指数衰减函数、单位阶跃函数、单位脉冲函数的基本知识 第8章 傅里叶变换（续一） 本章主要内容（续） 傅里叶变换的基本性质，卷积的性质和卷积定理 周期函数与离散频谱、非周期函数与连续频谱 8.2 傅里叶积分 本节内容 8.2.1 傅里叶积分的复数形式 8.2.2 傅里叶积分公式 8.3 傅里叶变换 本节内容 8.3.1 傅里叶变换的定义 8.3.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换 8.6 傅里叶变换的应用 本节内容 8.6.1 周期函数与离散频谱 8.6.2 非周期函数与连续频谱 8.4 （续二） 位移性质 F [f(t±t0)]＝ F [f(t)] (8-17) 式(8-17)在电子技术中又称为时移性。这个性质说明：时间函数f(t)沿t轴位移t0，相当于它的傅氏变换乘以因子 F －1[F (ω±ω0)]＝ f(t) (8-18) 式(8-18)在电子技术中又称为频移性。这个性质说明：频谱函数F(ω)沿ω轴位移ω0，相当于原来的函数乘以因子 8.4 （续三） 例8-8 设F [f(t)]＝F(ω)， 求F [f(t)sinω0t]和F [f(t)cosω0t]。 解 由 得 8.4 （续四） 微分性质 (8-19) 该性质表明，一个函数的导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子iω。 推论 (8-20) 8.4 （续五） 积分性质 (8-21) 该性质表明，一个函数积分后的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以因子iω。 例8-9 求微分方程 的解，其中a、b、c均为常数。 8.4 （续六） 解 记F [x(t)]＝X(ω)，F [h(t)]＝H(ω)。对方程两边取傅氏变换，得 于是 8.4 （续六） 续解 求上式的傅氏逆变换，得 即 8.4 （续六） 乘积定理 若F1(ω)＝F [f1(t)]，F2(ω)＝F [f2(t)]，则 (8-22) 其中 、 分别是F1(ω)、F2(ω)的共轭复数。 8.4 （续六） 帕塞瓦尔等式 若F(ω)＝F [f(t)]，则 (8-23) 其中，S(ω)＝|F(ω)|2。 在实际应用中，积分 与积分 都可以表示某种能量。因此，帕塞瓦尔等式(8-23)又称为能量积分，而S(ω)＝|F(ω)|2称为能量密度函数（或能量谱密度）。 8.5 卷 积 定义8-3 若两个函数f1(t)，f2(t)在(－∞,＋∞)上绝对可积，则积分 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即 (8-24) 8.5 卷 积（续一） 卷积运算满足以下3个性质： （1）交换律 (8-25) （2）对加法的分配律 (8-26) （3）结合律 (8-27) 8.5 卷 积（续二） 例8-10 若 ， ，求f1(t)*f2(t)。 解 显然，只有当t≥0，且0≤τ≤t时，乘积f1(t)f2(t－τ)≠0。按卷积的定义，有 8.5 卷 积（续三） 定理8-3（卷积定理） 如果f1(t)，f2(t)都满足傅氏积分定理的条件，且F [f1(t)]＝F1(ω)，F [f2(t)]＝F2(ω)，则 F [f1(t)*f2(t)]＝F1(ω)F2(ω) (8-28) 和 F －1[F1(ω)F2(ω)]＝f1(t)*f2(t) (8-29) 证明 按傅氏变换的定义，有 8.5 卷 积（续四） 续证 ＝F1(ω)F2(ω) 这个性质表明，两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积。 8.2.2 （续二） 若两个相邻点的距离以Δω表示，即 Δω＝ωn－ωn－1＝2?/T 当T→＋∞时，有Δω→0，所以式(a)可以写为 (b)