B样条多重乘积理论与有理曲线曲面多项式逼近技术的研究.pdf

摘 要 造型中的常用工具．其中，B样条函数的多重乘积理论，NURBS曲线曲面曲率单 调变化的条件和导矢界的估计，以及有理三角B6zier曲面的多项式三角B6zier曲 面逼近，由于直接关系到计算机辅助设计系统的形状控制、绘制效率、算法的有 效性、数据的交换和传递等而成为当前的研究热点，然而它们迄今未取得突破 性的进展．本文围绕这些问题展开了深入的研究，取得了以下丰富的创新性理论 成果： 第一．创造了B样条函数的多重乘积理论，将B样条函数的多重乘积转化 为B样条基函数的线性组合．借助于离散B样条理论，对样条空间的变换进 行严谨细致的分析，求得B样条函数之乘积的阶数公式和节点向景公式，推 广Marsden恒等式，给出Yn(n≥2)个B样条函数的乘积表示为B样条基函数线 性组合的各项系数的表达式，从而得到了n(礼≥2)个B样条函数化积为和的公 式，可直接应用于系统开发的软件．多重B样条函数乘积理论的创立，提高了设 计系统的功能，丰富TNURBS曲线曲面的理论，推动了NURBS曲线曲面在计算 机辅助设计中更为广泛的应用． 第二．给出了NURBS曲线曲率单调变化的条件．借助于三个B样条函数化 积为和的公式，对工程中最常用的平面有理均匀三次B样条曲线段，将其曲率单 调变化的判别式转化为高次B样条函数的表达式，应用B样条基函数的正单位分 解性质，得到了此曲线段为曲率单调变化的一个充分条件．该结果新颖、简易、 实用，对曲线优化设计具有明显的应用价值，尤其对曲线的光顺性处理具有重要 意义． 第三，对NURBS曲线曲面的导矢界进行了估计．利用离散B样条理论、齐次 坐标点之间Cartesian向量的方向函数Dir、以及B样条函数化积为和的公式，给 出了平面有理均匀B样条的倍式化速端曲线表示，导出了该类曲线导矢大小的 界．作为以上结果的应用，进一步给出了平面有理均匀B样条曲线上任意两点间 参数距离的一个上界．同时基于一些恒等式和不等式技巧，推导了节点向量更 为复杂的NURBSI曲线导矢大小的界．基于曲面是一条曲线在空间运动的轨迹的 思想，最终得到]NURBS曲面导矢的上界公式．NURBS曲面导矢界的研究，有 ii B样条多重乘积理论与有理曲线fffI面多项式逼近技术的研究 助于提高NURBS曲面各种算法的有效性，并填补了国际上这一工作的空白． 第四．创新地研究了用多项式三角B6zier曲面逼近有理三角B包ier曲面的简 单而又确保逼近收敛的新算法．将被逼近的有理三角B6zier曲面升阶，以升阶 Rj郇l有理曲面的控制顶点作为新顶点，产生一张与升阶曲面同次数的多项式三 )flBezmr曲面。借助于不等式技巧，巧用无穷小的分析技术，证明了当升阶次数 趋于无穷时．得到的一系列多项式三角B6zier曲面逼近于原有理三角B6zier曲面． 特)j0地，逼近曲面任意给定阶的导向量～致收敛于被逼近的原有理三角B6zier曲 而的同阶导向量．此算法克服了有理多项式曲线曲而的Hybrid逼近算法所存在 的表达式繁琐，逼近的收敛性不能保证等缺点，因而具有理论意义及实用价值， 进一步提升了几何设计系统的功能． 关键词：计算机辅助设计，NURBSIllI线曲面，(有理)多项式三角B6zier曲面，曲 率单调变化，Marsden恒等式，离散B样条，倍式化速端曲线，导矢的界，两点距 离，方向函数，升阶，逼近，Hybrid算法 Abstract Rational andsurfacesandrational NURBS(Non-UniformB-Spline)curves B6ziersurfaces8xecoInnlontoolsin and triangular design geometric modelling the of Cur- products systems．Thereinmultiple B-splines，theMCV(M