信号分析与处理 教学课件 作者 杨西侠 柯晶 2 4.pptVIP

*1 * 前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱密度函数的概念。 本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数,即求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶变换的特例的结论。 周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。 因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再求任意周期信号的傅里叶变换。 2.3.4 周期信号的傅里叶变换 一、复指数、正弦、余弦信号的傅里叶变换 1、复指数信号e j?1t 的傅里叶变换 ∵ F [ 1 ] = 2? ?(?) ∴ F [ e j?1t ] = F [ 1 ? e j?1t] = 2? ?(? ??1) 2、余弦信号的傅里叶变换 ∵ cos?1t = 0.5( e j?1t + e ?j?1t ) ∴ F [cos?1t ] = ? [?(? ??1) + ?(? +?1) ] 3、正弦信号的傅里叶变换 ∵ sin?1t = ( e j?1t ? e ?j?1t )/2j ∴ F [sin?1t ] = j? [??(? ??1) + ?(? +?1)] 式中Xn是傅里叶级数的系数。对上式两边取傅里叶变换得 二、一般周期信号的傅里叶变换 先将任意周期信号x(t)展成傅里叶级数 上式说明：周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数组成的，这些冲激出现在离散的谐频点n?1 处，它的冲激强度等于x(t)的傅里叶级数Xn的2π 倍，因此它是离散的冲激谱。 当周期信号采用傅里叶级数表示频谱时，它是有限的幅度谱，所以两者是有区别的。 这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。 这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特例。 三、周期信号与单周期信号频谱间的关系 周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为： 单周期信号的傅里叶变换 比较上两式 上式说明：周期信号的傅里叶级数的系数Xn等于单周期信号的傅里叶变换Xd(?)在各谐频点n?1处的值乘以1/T1。 或者说，周期信号的频谱是单（非）周期信号频谱在n?1处的抽样值，仅差一系数1/T1，这就是为求周期信号的频谱值带来方便。 例2-13 求周期冲激信号?T(t)的傅里叶级数及傅里叶变换。 解：周期为T1的周期冲激信号?T(t)可表示为 （1）傅里叶级数(用定义) ——周期冲激信号的各离散谐频分量的大小均是相等的，且等于1/T1 （2）由于单个冲激信号?(t)的频谱等于1（白色谱），周期冲激信号的傅里叶系数应是单个冲激信号的傅里叶变换在n?1处的抽样值乘以1/T1，所以 Xn=1/T1 。 ?(t) t 0 ?T(t) t 0 X?(?) ? 0 Xn(?) ? 0 ?2?1 ??1 ?1 2?1 1/T1 ?1 X(?) ? 0 ?2?1 ??1 ?1 2?1 傅里叶级数 傅里叶变换 例2-14 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。 x(t) E t 0 T1 解：从单矩形脉冲信号x0(t)入手，x0(t)傅里叶变换为X0(?) x(t)傅里叶级数 x(t)傅里叶变换 x0(t) E t 0 ? X0(?) ? E? 2?/? x(t) E t 0 T1 Xn ? E?/T1 2?/? ?1 X(?) ? E??1 2?/? ?1 以计算机为中心的测控系统所能处理的信号是离散信号，而传感器所提供的信号一般都是连续信号，因此每隔一定时间间隔从已知连续信号中逐点抽取其瞬时值，从而获得抽样信号。 信号的抽样过程也就是信号在时间轴上的离散化过程,由抽样器进行。抽样器实质上是一个采样开关，每隔一定时间T 接通一次，每次接通时间τ 。 2.4.1 时域抽样 2.4 抽样信号的傅里叶变换 x(t) xs(t) T x(t) t 0 xs(t) t 0 T 2T 3T 从时域上看，抽样过程丢失了信号在抽样间隔的信息，因此要解决抽样周期T 的选择问题。直观看，对缓慢变化的信号，T 可以大些，对快速变化的信号，T要小些