信号与系统 教学课件 作者 刘百芬 张利华 信号与系统chapter 2.ppt

§奇异函数 或 的卷积特性 (1) 与 的卷积 根据卷积的定义和 的性质，有 证明 (2) 与 的卷积 证明 根据卷积的定义和 的性质，有 (3) 与 的卷积 证明 由卷积的微分特性和冲激函数的卷积性质，有 若系统的冲激响应为 ，如图，则该系统是一个微分器 推广到 阶微分系统有 (4) 与 的卷积 证明 由卷积的积分特性，有 同理，若系统的冲激响应为 ，如图，则该系统是一个积分器。 §卷积的时移特性 设 ，则有 证明 卷积的时移特性的图解表示如下图所示。 卷积分析法 线性时不变连续时间系统在一般信号激励下产生的零状态响应等于激励信号与冲激响应的卷积积分， 即： LTI系统激励 与 的推理过程可以表述如下： （单位冲激响应） （时不变性） （齐次性） （积分性） 电路图如下图所示，求该电路的单位冲激响应。若激励 为 求响应 解： 设此电路的电流为 ,易知: 由题有 当 时，冲激响应为 根据连续时间系统零状态响应的卷积法，当 时，可得 解： 设此电路的电流为 ,易知: 由题有 当 时，冲激响应为 根据连续时间系统零状态响应的卷积法，当 时，可得 2.6 单位冲激响应表示的系统特性 由于单位冲激响应是自由响应，完全取决于系统的结构和参数。不同结构和参数的系统，将具有不同的冲激响应，因此冲激响应可以表征系统本身的特性。下面我们将通过系统的单位冲激响应来分析线性时不变系统的因果性和稳定性。 因果性 因果系统是指系统的输出仅决定于现在和过去时刻的系统输入值，系统的输出不超前于输入。 由卷积定理，对于一个连续时间LTI系统，任意激励信号 作用于系统的零状态响应为 由于 的取值大于0，要使 不为零，则 不能为零，因此，其因果性的充要条件是其单位脉冲响应必须满足: 此时， 是一个因果信号，一个因果连续LTI系统的卷积积分可表示为 试考查系统 的因果性。 解： 冲激响应为 当 时，其为因果系统，系统为一延时器 。 当 时，其为非因果系统，系统的输出超前输入。 稳定性 对于一般性系统而言，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出稳定系统，简称稳定系统。 定理 连续时间LTI系统稳定的充要条件是 证明 （1）必要性 设一个具有单位冲激响应 的稳定LTI系统的输入信号为 显然 为一有界信号，则系统输出为： 因此， 时 因为 为稳定系统在 时刻上的输出， 必有界，因此要求上式的右边积分值有界，即 （2）充分性 设系统的输入 为有界，即对所有的 ， ， 则系统输出的绝对值为 如 式成立，将保证输出有界，即 因此连续时间LTI系统稳定的充要条件是 已知一个连续时间LTI系统的冲激响应为 ， ，判断该系统是否稳定。 解： 当 ，上式等于 。 由题有： 所以该系统稳定。 零状态响应 零状态响应是指系统的起始状态为零，由外加激励信号作用而引起的响应，一般用 表示。 对于零状态响应，就是微分方程式（2.1）在系统的初始储能为零，即 时的解 。 其解由自由响应和强迫响应构成，其中自由响应的形式由特征根确定，强迫响应的形式取决于激励的形式。 若其特征根为单根，则解的形式为 ： 由于 则可得系统全响应的表达式如下 在零状态响应中，由于存在外加激励的作用，此时 ,所以零状态响应表达式中的待定系数由跳变量 和外加激励 共同来确定。 系统的微分方程为 ,