信号与系统 教学课件 作者 刘百芬 张利华 信号与系统chapter 8.ppt

巴特沃斯低通滤波器的幅度响应在通带内具有最平坦的特性，且在通带和阻带由内幅度特性是单调变化的。模拟巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为 其中N为滤波器的阶数， 为角频率， 为?3dB通带截止频 率，即 时， ，又称 为 Butterworth低通滤波器的3分贝带宽。当 时，幅度响应为1。 1.模拟滤波器 (8.4) (8.5) (8.6) 现在来分析巴特沃斯滤波器极点的分布特点。如果用s代替jω，即经解析延拓，则式（8.4）可写成 由此得到极点 从式（8.6）可看出巴特沃斯滤波器极点分布的特点：在s平面上共有2N个极点等角距地分布在半径为 的圆周上，这些极点对称于虚铀，而虚轴上无极点；N为奇数时，实轴上有两个极点；N为偶数时．实轴上无极点；各极点间的角度距为 。 得到巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由s平面左半平面的极点构成传递函数。将式（8.5）写成以下形式 上式中， 是s平面左半平面的极点， 是右半平面的极点，A和B都为常数。因巴特沃斯滤波器有2N个极点，且对称于虚轴。所以可将左半平面的极点分配给 ，以便得到一个稳定的系统。把右半平面的极点分配给 ， 不是所需要的，可以不管它忽略。于是有 由 ， 得 所以，巴特沃斯滤波器的传递函数为 基于频率响应模平方确定的有理系统函数作为近似函数的滤波器设计方法中，以滤波器通带或阻带等波纹起伏为最优化准则，获得了分别称为“切比雪夫滤波器”和“椭圆滤波器”的规格化设计图表。 IIR数字滤波器的设计思路是先设计好模拟滤波器，再转换为数字滤波器，也就是滤波器数字化。数字化方法主要有冲激响应不变法和双线性变换法，下面主要介绍冲激响应不变法。 数字滤波器有两种实现类型，一种是无限冲激响应数字滤波器，一种是有限冲激响应数字滤波器，设计方法完全不一样。本书只介绍IIR数字滤波器的设计方法。 2. 数字滤波器 冲激响应不变法遵循的原则是：使数字滤波器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的冲激响应的取样值完全一样，即 由模拟滤波器转换成数字滤波器，就是要建立模拟系统函数 与数字系统函数 之间的关系，有 冲激响应不变法是要从s平面映射到z平面。如下图所示 (8.7) s平面到z平面的映射图 现在来讨论用冲激响应不变法得到的数字滤波器与所参照的模拟滤波器的频率响应之间的关系。令 ，并代入式（8.7），得 上式表明，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。如果模拟滤波器频率响应的带宽被限制在折叠频率以内，即 ，那么数字滤波器的频率响应能够重现模拟滤波器的频率响应，即 。 然而，任何实际的模拟滤波器都不是带限的，因此数字滤波器的频谱必然产生混叠，如下图所示。 冲激响应不变法设计中频响混叠 ① 假设模拟滤波器的传递函数 具有1阶极点，且分母的阶数高于分子的阶数。将 展开成部分分式 这样，数字滤波器的频率响应就与原模拟滤波器不同，即产生了失真。但是．如果模拟滤波器在折叠频率以上的频率响应衰减很大，那么这种失真很小，采用冲激不变法设汁计数字滤波器就能得良好的结果，这时有 用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器的步骤如下： 上式中， 为极点。对 求拉氏反变换得 ② 使用冲激响应不变法求数字滤波器的冲激响应 ，即令 ，并代入上式得 ③ 求 的 Z 变换 (8.9) (8.8) 就有限冲击响应数字滤波器而言，设计者最感兴趣的是具有线性相位的FIR滤波器。对非线性相位的FIR滤波器，一般可以用IIR滤波器来代替。对于同样的幅度特性，