信号与系统 第2版 普通高等教育“十一五”规划教材 教学课件 沈元隆 周井泉 第6章 离散信号与系统的变换域分析.ppt

第6章 离散信号与系统的变换域分析 上一章讨论了离散信号与系统的时域分析，它的分析过程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处。 我们已经知道，连续信号与系统的分析还可以在变换域中进行，即傅里叶变换分析和拉普拉斯变换分析。 同样，离散信号与系统也存在类似的变换域分析，即离散时间傅里叶变换和Z变换分析。 本章首先讨论与拉普拉斯变换(LT)相对应的Z变换(ZT)分析。 利用Z变换把时域的差分方程变换成Z域的代数方程，从而使离散系统分析变得相当简便。 然后，在此基础上讨论与傅里叶变换(CTFT，简称FT)相对应的离散时间傅里叶变换(DTFT)。 从而建立离散信号频谱和系统频率特性的概念。 6.1??Z变换 Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的定义。 6.1.1 Z变换的定义 离散信号（序列） 即是（z为复数）的一个幂级数。可以看出，的系数就是f(k)的值。 式（6.1-1）称为f(k)的Z变换式，为了方便，上式还常简写为 离散信号的Z变换的定义也可以由取样信号的拉氏变换引出。 一个连续信号f(t)以均匀间隔T进行理想取样得到取样信号fS(t)，可表示为 也就是说，取样信号fS(t)可以表示为一系列在t = kT 时刻出现的强度为 ?(kT) 的冲激信号之和。 其中为连续信号 f(t) 在 t = kT时刻的值，是一个离散序列。 取样信号的拉氏变换为 取新的复变量 z，令 则式（6.1-3）就变成复变量 z 的表达式，即 这就是离散信号或的Z变换表达式，可见，离散信号f(k)的Z变换是取样信号fS(t)的拉氏变换FS(s)将变量s代换为变量 式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散时间系统以及S域与Z域间的重要关系。 如果离散信号f(k)为因果序列，即 k 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 的部分，则有 式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双边Z变换。 无论是双边Z变换还是单边Z变换，F(s)称为f(k)的象函数； f(k)为F(s)的原函数。 由于实际离散信号一般均为因果序列，在此，我们强调以后主要讨论单边Z变换。 6.1.2 Z变换的收敛域 无论是按式（6.1-1）定义的双边Z变换，还是按式（6.1-6）定义的单边Z变换都表现为一个幂级数。 显然，仅当该级数收敛时，Z变换才有意义。 例如因果序列 显然，只有当 时，该无穷级数绝对收敛。即级数收敛的充要条件为 根据等比级数的求和公式，式（6.1-7）才能以闭合式表示为 上述例子中z的取值?z ?a称为F(z)的收敛条件。 在Z平面（复平面）中， F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域ROC（Region of Convergence）。 收敛条件?z ?a ，在Z平面中所对应的收敛域是圆心在原点半径为a的圆外区域，半径a称为收敛半径，如图6.1-2（a）中的阴影部分。 可见，对于单边Z变换，收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的圆外区域，圆的半径视不同而不同。 由于单边Z变换收敛条件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会，故一般情况下不再加注其收敛域。 而对于双边Z变换，情况要复杂一些。例如 双边Z变换为 上式后一级数收敛条件已经讨论过，为?z ?a ，前一个级数 的收敛条件为 ，即?z ?b 。 故整个Z变换的收敛域应为azb。当ab，则收敛域为Z平面内圆心在原点外半径为b，内半径为a的一个圆环区域。 若ab ，则无收敛域，Z变换也就不存在。 值得注意的是，即便是同一个双边Z变换的表达式，其收敛域不同，则可能对应于两个不同的序列。 可见，双边Z变换式必须注明其收敛域，否则有可能无法确定其对应的时间序列。 由复变函数理