信号与系统 教学课件 作者 沈元隆 周井泉 第七章.ppt

信号与系统 第七章 7.4.3 离散系统状态方程的解 求解状态方程仍然有两种方法：一种基于Z变换的变换域求解；另一种是采用时域法求解。下面分别加以叙述。 一、离散系统状态方程的Z域解 用Z变换求解一阶差分方程组与求解单个标量差分方程没有什么本质上的差异。对状态方程式(7.4-3)两边取Z变换，根据Z变换的微分性质，得 (7.4-5) 式中，X(z)和F(z)分别表示状态矢量x(k) 和输入矢量f(k)的单边Z变换，x(0)表示状态矢量的初始状态。 相应地，输出方程式(7.4-4)的Z变换为 (7.4-6) 矩阵为离散系统的分解矩阵。显然，这是一个由系统参数A完全决定了的矩阵。这时式(7.4-5)可表示为 (7.4-9) 这就是状态矢量的Z域解。对上式取Z反变换，有 (7.4-10) 式中第一项为状态矢量的零输入响应；第二项为零状态响应。 在求得状态矢量的Z域解后，代入输出方程式(7.4-6)，即可得到输出矢量的Z域解，为 (7.4-8) 定义 在零状态条件下系统输出的Z变换与输入的Z变换之比定义为离散系统函数。由式(7.4-11)可得系统函数矩阵或称转移函数矩阵为 (7.4-13) 系统函数矩阵的Z反变换是离散系统的单位函数响应矩阵h(k)。 (7.4-11) 对上式取Z反变换，有 (7.4-12) 可见，零状态响应的Z变换也可表示为 (7.4-14) 从式(7.4-13)中可以看到，系统函数矩阵H(z)仅有系统的A、B、C、D矩阵确定，它是r×m矩阵(r为输出的数目，m为输入的数目)。矩阵元素Hij建立了状态方程中第个i输出yi(k)与第j个输入xj(k)之间的联系。 对于线性时不变系统，B、C、D都是常数矩阵，从式(7.4-13)中可以看出，系统函数矩阵H(z)中只有矩阵含有变量 z 。一般情况下，H(z)与 ?(z) 具有相同的分母，即行列式，它是一个z的n次多项式。方程 (7.4-15) 的根是H(z)的极点，即系统的固有频率。因此，式(7.4-15)称为系统的特征方程，它的根是特征根，或称矩阵A的特征根。判定离散系统是否稳定，也就是判定特征根是否位于单位圆 * 第7章 状态变量分析 7.1 状态与状态空间 7.2 连续系统状态方程的建立 7.3 连续系统状态方程的解 7.4 离散系统状态变量分析 7.5 系统的可控制性和可观测性 习题7 第7章?? 状态变量分析 分析一个物理系统，首先必须建立系统的数学模型，以便利用有效的数学工具解决实际问题。在系统分析中常用的系统描述方法有输入-输出描述法和状态变量描述法两大类。 前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入-输出描述法(input-output description),又称端口分析法，也称外部法。它强调用系统的输入、输出变量之间的关系来描述系统的特性。一旦系统的数学模型建立以后，就不再关心系统内部的情况，而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的影响。这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较为简单系统的分析是合适的。其相应的数学模型是n 阶微分(或差分)方程。 随着系统的复杂化，往往要遇到非线性、时变、多输入、多输出系统的情况。此外，许多情况下在研究其