信号与系统 教学课件 作者 谭华 主编 第四章__连续系统的复频域分析.ppt

第4章 连续系统的复频域分析 4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换 4.3 连续系统的拉普拉斯变换分析法 4.4 系统函数与系统模拟 4.2 拉普拉斯变换 傅里叶变换可以将信号映射至频率域,引出了信号与系统的频域分析法。信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在。 M 4.2.1 拉普拉斯变换的定义 信号 f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当t→∞或t→-∞时, f(t)不收敛,即 如果用一个实指数函数eσt去乘以f(t)，只要σ值选择适当，就可以使其收敛，通常把eσt成为收敛因子。f(t)乘以收敛因子eσt后成为绝对可积函数，故其傅里叶变换为 它是σ+jω的函数,可写成 (4-1) F(σ+jω)的傅里叶反变换为将上式两边乘以eσt得到 （4-2） 为了使表述更为简洁,令s=σ+jω为复频率,从而ds=jdω,当ω=±∞时,s=σ±j∞,于是得： （4-3） （4-4）式（4-3）称为双边拉普拉斯变换，式（4-4）称为双边拉普拉斯逆变换。 其中F(S)成为象函数，称为原函数；f(t)与F(S)构成了拉普拉斯变换对，记为若f(t)为因果函数，即当t0时， f(t)=0，但考虑到f(t)在原点可能出现冲激或者冲激的各阶导数，故积分的下限应取为0-，则式(4-3)可变为 （4-5）拉普拉斯逆变换则变为 （4-6）式（4-5）、（4-6）称为单边拉普拉斯变换对。实际系统中的信号都有原始信号，即t0时， f(t)=0，所以我们只需要考虑t0的部分。  例5-1 图5-1a所示为指数增长信号 的波形，试求f（t）的拉普拉斯变换，式中a0。解：由拉普拉斯变换的定义，其象函数为由于s= σ+jω,故上式括号内的第二项可以写为所以只要σa，则 将随着t的增大而衰减。当 则从而得f(t) 的变换   根据上例分析， 称为F（s）的存在域（或收敛域），其存在域也可以表示以σ为横坐标，jw为纵坐标的s复平面， 的区域称为F（s）的收敛域，如图5-1b所示。  图4-1 指数增长信号及其收敛域 4.2.2 常用信号的拉普拉斯变换 下面给出一些常用信号的拉普拉斯变换。 1.指数信号  从例4-1可知，f（t）= ，则其拉普拉斯变换为 即 可另得推论： 2. 冲激信号δ(t)  若f（t）= δ(t) ,则根据定义其拉普拉斯变换为即3.阶跃信号u（t），则根据定义其拉普拉斯变换为即 4. 余弦信号cosω0t因为即 5.正弦信号sinω0t 因为 即 6.衰减余弦信号e-