具有尺度结构和周期参数的种群模型研究.docVIP

具有尺度结构和周期参数的种群模型研究 1 模型 为适应环境的季节性变化,建立如下的具有周期参数的种群模型: 其中表示时刻尺度为种群个体密度；生命参数、、分别表示时刻尺度为个体的出生率、死亡率和增长率；常数表示个体所能达到的最大尺度：常数为一周期参数；且生命参数、、均是以为周期的函数。 本文对生命参数做如下的假设： 2 模型解的定义 为定义系统的解，首先引入特征曲线的概念，我们将初始条件下，常微分方程的唯一解定义为通过点的特征曲线，记为：。在特征曲线的基础，定义函数沿特征曲线的导数： 定义1 函数称为系统的解。若沿着每条特征曲线足够的连续，且满足： 其中 注解1 由于沿着每条特征曲线足够的连续，则系统中的第二式是有意义的． 3 模型解的适定性 记平面上，通过点的特征曲线为.．对平面上任意一点，当，定义其初始时刻为，有．首先考虑满足系统中第一式和第二式的解. 当时，其解的形式为： 令，则，且 故： 由于，记从而可得： 其中为如下积分Volterra方程的解： 其中 因此，如果是如下方程的解，则系统的解必有式的形式. 其中 于是，我们很容易得到下面的结论： 引理 1 设是的解，则由给出的对任意的是系统的解. 且进一步，如果最多只有一个解，则系统最多只有一个解. 现在我们讨论式的解的存在唯一性. 为此，对满足假设的固定的我们定义如下的有界线性算子： 首先该定义是合理的，由于并且因此式可以写成中如下的抽象方程： 定理1 记为算子的谱半径，如果，则方程在中有唯一解. 注解2 由参考文献[2]可知，存活函数为：，净再繁殖率为：. 若对，有，即表示出生率是受死亡率“控制的”，此时有. 定理2 假设，则系统有唯一的非负解 证明：由引理1及定理1知，若，则系统有唯一的解 接下来证明解的非负性： 由于方程的解是如下迭代序列的极限： 由假设知：对有，于是就有. 从而就有极限，于是由知. 综上所述：若，则系统有唯一的非负解 进一步得到如下的结论： 定理 3 设为系统对应于的解，若 则 证明： 当时，由式可知：，从而结合式可得：，进一步结合式可知：