比较二次根式大小的巧妙方法.docVIP

比较二次根式大小的巧妙方法 ? 一、移动因式法 ? 此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 ? 例1：比较的大小。 ? 解： ? ? ＞ ? ∴＞ ? 二、运用平方法 ? 两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 ? 例2：比较与的大小。 ? 解：∵， ? ?? ＞0，＞0 ? ∴＜ ? 三、分母有理化法 ? 此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。 ? 例3：比较与的大小。 ? 解： ? 牋?小。 ? ∴＞ ? 四、分子有理化法 ? 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。 ? 例4：比较与的大小 ? 解：∵ ? ? ＞ ? ∴＞ ? 五、求差或求商法 ? 求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当 ? ＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。 ? 求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数” 来比较与的大小。 ? 例5：比较的大小。 ? 解：∵ ? 牋牋牋 较大于 ? ＜ ? ∴＜ ? 例6：比较的大小。 ? 解：∵＞1 ? ∴＞ ? 六、求倒数法 ? 先求两数的倒数，而后再进行比较。 ? 例7：比较的大小。 ? 解：∵ ? ? ＞ ? ∴＜ ? 七、运用媒介法 ? 此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。 ? 例8：已知，，试比较的大小。 ? 解：设， ? 则， ? ∵＜，∴＜，即＜ ? 八、设特定值法 ? 如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。 ? 例9：比较 与 的大小。 ? 解：设，则： ? ＝1，＝ ? ∵＜1，∴＞ ? 九、局部缩放法 ? 如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。 ? 例10：比较的大小。 ? 解：设， ? ∵，7＜＜8，即7＜＜8 ? ???? ，8＜＜9，即8＜＜9 ? ??? ∴＜，即＜ ? 例11：比较与的大小。 ? 解：∵＞ ? ??? ? ∴＞ ? 十、“结论”推理法 ? 通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。 ? 例12：比较1与的大小。 ? 解：∵， ? ?? 由＞（＞＞0）可知： ? ＞ ? 即＞ ? 又∵＞ ? ∴＞，即1＞ ? 总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。 ? 附：“＞（＞＞0）”的证明。 ? 证明：∵，， ? ??????? ＞ ? ∴＞（＞＞0） ? 【典题新练】： ? 1、比较与的大小； ? 2、比较与的大小； ? 3、比较与的大小； ? 4、比较与的大小； ? 5、比较与的大小； ? 6、比较与的大小（其中为正整数）； ? 7、设，，试比较它们的大小； ? 8、比较与的大小； ? 9、比较与的大小； ? 10、 比较与的大小； ? 11、比较与的大小； ? 12、比较的大小； ? 13、比较与的大小； ? 14、 比较与的大小； ? 15、若为正整数，试比较的大小； ? 16、比较的大小； ? 17、比较与的大小。 ? 【典题新练参考答案】： ? 1、提示：，，∴＜ ? 2、提示：平方后再进行比较。 ? ，， ? ∴＞ ? 3、提示：可利用＞（＞＞0）。 ? ?＞，即＞ ? 4、提示：分母有理化后再进行比较。? ? ? ，，＜， ? ∴＜ ? 5、提示：分子有理化后再进行比较。 ? ? ? ? ? ∵＞，∴＜， ? 即＜ ? 6、提示：∵ ， ? 其中为正整数， ∴ ＞ ? 故 ＜ ? 7、提示：设， ? 则：， ? ∵　＜? 　∴＜，∴＜ ? 8、平方后再进行比较。 ? ，，又∵＞，∴＞ ? ∴＜，∴＜ ? 9、提示：∵2＜＜3，7＜＜8，∴＜5＜，∴＜ ? 10、提示：分子有理化后再进行比较。 ? 因为，，而＞ ? 所以＜，故＜ ? 11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。 ? ∵， ? ＞，∴＜ ? 12、提示：∵，而7＜＜8，∴的整数部分为7 。同样可得 ? 的整数部分为8，∴＜ ? 13、提示：∵＞ ? ∴＞ ? 14、提示：平