奖学金、助学金分配问题的优化模型.doc

题目 《奖学金、助学金分配问题的优化模型》 姓名： 卢丰海 学号： 专业： 信息与计算科学 学院： 数学与信息科学 指导老师： 熊思灿 时间： 2011/3/24 奖学金、助学金分配问题的优化模型 摘要 奖学金、助学金方案涉及每个学生的切身利益,一直是学生关注的热点问题之一。因此，结果是否合理，对调动学生的积极性及优秀学生的正确评选都有着重要意义。本文主要通过采取Q值法来实施名额及奖金的分配一、问题重述 2010年数信学院各类奖学金、助学金的总数与金额如下表： 名称 国家奖学金 励志奖学金 A等助学金 B等助学金 C等助学金 金额（元） 8000 5000 2000 3000 4000 名额（人） 1 21 27 54 27 数信学院具有评优条件的各专业人数如下表： 数学与应用数学 信息与计算科学 信息管理 07级 071011 071021 071022 071031 34 30 29 53 08级 081011 081012 081021 081022 081031 081032 32 30 29 33 32 33 09级 091031 091032 091021 091022 091031 091032 091033 23 30 24 32 24 28 26 请根据以上情况建立合理的数学模型解决以下问题： 不考虑国家奖学金的分配，请根据各个专业的人数与各奖金金额大小确定分配方案，使分配方案尽量公平合理。 不考虑国家奖学金的分配，请根据各个班级的人数与奖学金金额大小确定分配方案，使分配方案尽量公平合理。 考虑国家奖学金与其他奖学金一起分配，请确定分配方案。 二、问题分析 问题1的分析 问题1的要求是在不考虑国家奖学金的分配的前提下，将剩下的奖金与名额分配给各专业。求解出问题1便能大体上将各专业分配所得名额的总体情况给出，从而有利于问题2的求解。问题1属于典型的席位分配问题，对于解决此类问题我们采取最大Q值法进行求解和分析。 问题2的分析 问题2的要求是在不考虑国家奖学金的分配的前提下，将剩下的奖金与名额分配给各个班。该问题与问题1类似，只是分配工作具体到了每个班。求解出此问题会使得分配结果更加清晰明朗，从而让分配工作顺利进行。在求解问题二时，假设问题1中的求解结果公平，再用Q值法将各专业所得的名额及金额分配给各班，即可得到问题2分配的结果。 问题3的分析 问题3要求考虑国家奖学金与其他奖学金一起分配。由于国家奖学金的金额数目较大，且只有一个名额。故无论将这个名额给哪个专业，都会造成该专业对另两个专业的不公平度在金额分配上大大增加。由于考虑到实际分配执行过程中学校是将国家级奖学金分配给待评选人中综合素质最高的学生，故分配情况有三种可能。 三、模型假设 1. 假设题目所给的数据真实可靠； 2．假设各专业都具有符合各评选条件的学生； 3. 假设所有的相对不公平度最小时，便视为分配结果公平； 4．假设上文求解的结果对下文都可以利用且视为真实可靠的； 5. 假设各专业都有可能具有获得国家奖学金的的学生。 四、定义与符号说明 序号 符号 符号定义 1 代表的总人数 2 代表所分配到的名额 3 代表的总人数 4 代表所分配到的名额 5 代表待分配的总人数 6 代表各方总人数之和 7 代表未分配完的名额 五、模型的建立与求解 5.1 问题一最大Q值法模型 5.1.1 最大Q值法模型的建立过程： 用Q值法来衡量是否公平是基于这样一条原则：如果两个数相同，那么它们的比值是零。即如果两个数相等，它们的比值是1。即如果，则。并且上述比值越大，对来说，这种分配方案就越不公平。用作为衡量不公平的值。假定把名额给，计算的不公平程度，然后假定把名额给，计算的不公平程度。我们的分配方案将使不公平程度最低。在这种情况下，当时，获得额外名额。做一下简化，我们可得到：当时，获得额外名额。记：，则把名额分配给Q大的一方。 将该方法推广到n个专业的名额分配情况。设各专业分配的人数已经确定，当再增加1名额时，计算各专业的Q值。其中Q值为： 将该名额分配给Q值最大的一方，这样可使造成的不公平程度最小。 5.1.2相对公平度评判标准： 设各专业分配的名额为，则各专业名额代表的人数为，平均每个名额代表的人数为。对每个专业来说，尽量的使与接近。因此有： 若分配后，将结果代入上式能使Z值最小，则认为该分配方案是相对公平的。 5.1.3模型求解： 首先将总金额和总名额分开考虑，用最大Q值法分给各专业，用MATLAB 求解（程序见附录），整理数据得到下表： （表一） 专业 分配 数应 信计 信管 总名额数（）Q值法模型分给三个专业（求解