幻方的制作方法.doc

奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法 ?????? 罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）?????? 一居上行正中央，依次斜填切莫忘，?????? 上出格时往下填，右出格时左边放，?????? 排重便在下格填，角上出格一个样。?????? 六阶幻方，具体的做是：?????? 偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方?????? 双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，?????? 可用对称交换法，方法很简单:?????? 1) 把自然数依次排成方阵?????? 2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线?????? 3) 把这些对角线所划到的数，保持不动?????? 4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调?????? 幻方完成！?????? 单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方?????? 方法是很繁的,有一种称同心方阵法:?????? 1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,?????? 2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵?????? 3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止??????? 六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中??????? 1 9 34 33 32 2 6 11 25 24 14 31 10 22 16 17 19 27 30 18 20 21 15 7 29 23 13 12 26 8 35 28 3 4 5 36 ?????? 传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有 m个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。 ????? ??? ????????????????? 图1 河图洛书?????????????????? ???? 图2 纵横图?????? 长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。??????? 杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图3）。其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。 (参见图4) ????????????????????????????? 图3????? ???????????????????? ?? ?????????????????????????? 图4 单偶阶（10阶、6阶）幻方制作方法 单偶阶幻方： n为偶数，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)。这是奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方三种幻方里面最复杂的幻方。?????? 以n=10为例。这时，k=2。????? （1） 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。 　　 ????? （2） 在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。 　　 ?????? （3） 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k－1列。(注：6阶幻方由于k－1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)， 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。 　　 ??????? 下面是6阶幻方的填法： 　　　　 ??????? 看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了 奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法 第 2 页 共 8 页 单偶阶（10阶、6阶