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关于Psi函数均值的计算 李海龙 （渭南师范学院 数学系 陕西　西安714000） 摘 要：主要给出了欧拉求和公式的推广，得出了Psi函数均值的渐近计算公式。通过此公式的应用，得出了Eisentein定理的一个重要计算结果。 关键词：Psi函数; Gamma 函数; Zeta-函数; 求和公式 中图分类号：O156.4 文献标识码：A 文章编号：1000-274X(2004)0098-3 1 引言与主要结论 在文献[1]中Psi 函数 被定义为 ，。Barnes 给出了两个渐近计算公式和。在这篇论文中, 给出了Euler-Maclaurin求和公式的堆广, 结合Bernoulli 多项式得出了公式，从而得出了的渐近计算公式, Eisentein叙述，当，时， 收敛的,而我们给出了定理1　设 , , 是一个正整数, , 对于任何, ，则 定理2　设是正整数，则 2　定理的证明 为了证明定理，首先，给出3个引理 引理1　Psi 函数 () 被定义为 ()则, () 　　(1) , () 　 (2) 证 明 因为 所以 从函数 设 则 (3) 于是我们完成了（1）的证明从(1), 我们可以得到 于是我们完成了（2）的证明设, , 则 。 引理2　假设 是在 ()连续，则 　　　　　　 (4) 证　明　设, 是Bernoulli 多项式。 因为 　 所以 证毕。 3　设 ，其中和都是可变的复数，假设在情况下,对于的被排除。则对于任意, 有 (5) 在 成立。 在引理2中选择，记 可以从引理2得出对于任意自然数 + 　　　　　　　　　　　 (6) 通过均值定理及分步积分，注意（6）中最后的积分是 。当 我们可得 所以 　　　　　　　　　　　　 (7) 结合 (6)和(7) + 所以 。 现在，我们利用上面的个引理证明定理。首先，我们证明定理1 从引理1 (8) 设 , 我们得 从 (3) , 我们得 (9) 　　　　　　　 (10) 把 代入引理3, 我们有 所以 (11) 　　 (12) 结合(11，12), 我们得 (13) 结合(1013), 我们得 。 证明定理2从引理1 所以 　　 (14) 一方面，从定理1 所以 证毕。 [1] SRIVASTAVA H M, Junesang C. Series Associated with the Zeta and Related Functions[M]. Boston and London: Kluwer Academic Publishers, 2001.22-24. (编辑 曹大刚) On the mean value of Psi functionΨn(k) LI Hai-long (Department of Mathematics, Weinan Teachers College, Weinan 714000, China) Abstract: The main purpose is to give an asymptotic formula of the Psi function . Applying this formula, an important calculating result for Eisentein’s theorem is gotten. Keywords: Psi (or Digamma) function; Gamma function; Zeta-function; Summation formula. 作者简介 李海龙，男，1963年9月出生，1987年毕业于陕西师范大学数学系，分配到渭南师范学院数学系任教。2000年9月至2001年7月在西北大学数学系硕士学位班学习，从事解析数论研究， 2003年7月至2004年月去日本近畿大学做研究员，和日本著名数论专家金光滋教授共同从事解析数论的Zeta函数研究。