模糊群的公理体系.pdfVIP

第 22卷第 5期 模 糊 系 统 与 数 学 Vo1．22，No．5 2008年 1O月 FuzzySystemsandMathematics 0ct．．2008 文章编号：1001—7402(2OO8)O5—0051—06 模糊群的公理体系 邱 东，舒 兰 (电子科技大学 应用数学学院，四川 成都 610054) 摘 要：给出了模糊群的几个等价刻画，建立模糊群的公理体系并得到了五个最小完备系。此外还讨论 以消去律为条件的模糊群的刻画，给出了有限模糊群和周期模糊群的最小完备系，同时也得到了一个一 般模糊群的等价刻画，根据其三个推论可清楚地区分周期模糊群、无扭模糊群和混合模糊群。 关键词 ：模糊群 ；公理体系；消去律 ；最小完备系 中图分类号：O159 文献标识码 ：A 1 引言和预备知识 模糊群作为群的 自然推广首先由Rosenfeld[提出，并得到广泛的研究[ ]。许多作者随后也提出了 各种不同的模糊群定义[6]。对群等价刻画的问题如：用最弱的公理定义群、公理的独立性等，一直是经 典群论的重要课题[1。_n]。然而对于模糊群，这些 问题还未被论及 。本文 旨在研究Rosenfeld的模糊群的 等价刻画以及为此定义建立公理体系。虽然关于模糊群有很多不同的定义，但 Rosenfeld的模糊群无疑 是最重要的之一 。 首先我们给出一些基本定义和结论以便后文使用。 非空集合 的一个竹元运算是指一个 上的关于挖元组 (口 一，)的函数 厂其值 f(a ”，an)=b 是 中的唯一元素。若对于 中任意选取的a ．．， ，厂都有定义，则称运算厂在 上有意义或者说集 合 关于 厂是封闭的[1。若不要求厂的值一定是唯一的，则称厂是一个多值函数。显然，，z元运算可以 看作一种特殊的多值函数 。当 =2，称二元运算 厂(相应地，多值函数厂)为乘法(相应地，多值乘法)。 若S是一集合，则称映射 tI：S一 [O，1]为 的一个模糊子集，简称模糊集[1引。记 的所有模糊集的 集合为F()。对于任意的t∈I-o，1]，称集合 -／6一 {z∈Sl()≥t}为模糊集 的t一水平集。 设5是一个群 ，在整篇文 中e将表示群5的单位元。A．Rosenfetd的模糊子群定义如下： 定义 1．1[1 模糊集 tI∈F(S)是 的模糊子群是指 ：若对任意 的a，b∈S，有 (1)ti(ab)≥ rain(ti(a)，tI(b))，(2)ti(a )≥ It(a)。 定义 1．2 模糊子群 ∈F()是 的模糊周期群(相应地，模糊无扭群，模糊混合群)是指：若S是 一 个周期群 (相应地，无扭群，混合群)。 定理 1．1 设 是一个群。 是S上的模糊集。则对于任意的a，b∈S，以下条件等价：(1)ti(oh)≥ min(tu(a)，tI(b))，且 tI(a_1)≥tI(a)；(2) (口)≥ min(ti(ho)，tI(b))；(3) (6)≥min(p(a)，tI(ho))。 收稿el期 ：2007—08一ll；修订日期 ：2007—10—25 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目；电子科技大学青年学术带头人培养计划项 目(Y02 作者简介：邱东 (1977一)，男，电子科技大学博士研究生，研究方向：模糊代数，模糊分析；舒兰(1962一)．电子科技大学应用数学学院 教授，博士生导师，研究方向：模糊数学理论及应用，模糊信息处理技术，模糊识另Ⅱ，粗糙理论及应用等。 模 糊 系 统 与 数 学 证明 (1) (2)：对于任一给定的元 z，我们有 l／(x)= ((z-1) )≥ (z-1)。因此 (z)一 (z一)。对于任意 口，b∈S， (n)=,u(abb )≥min(,u(ab)，(6 ))一min(~(ab)，(6))。所以不等式 (2)成立。对于 (1) (3)可以相同地证明。 (2)=(1)：对于任意的 ∈S，我们有z=ex．因此从不等式(2)知 ()≥ (z)。因为z叫 —e， 从不