第9章 杆件结构力学问题的有限单元法.ppt

代入单元的位能泛函 得到 进一步可得到梁的总位能泛函，并由泛函的一阶变分为0得到有限元求解方程。可以看出： 弯曲部分对应的刚度矩阵计算： 剪切部分对应的刚度矩阵计算： 可采用2点高斯积分进行精确计算： Timoshenko梁存在的问题 因此，对于细长梁当 时 此时刚度方程 所以， 必须奇异。否则将发生锁死。 可见，考虑剪切影响的Timoshenko梁单元不适用于细长梁，会导致挠度趋近于0. 这种现象称为剪切自锁(Shear locking) 。 原因分析 对于细长梁当 时 应该 但是构造形函数时w 和q 是同阶插值，导致　 和q 不同阶，无法满足 将导致不合理的约束： 解决剪切锁死的办法 (1) 减缩积分 (2) 假设剪切应变 (3) 替代插值函数 9.3 平面杆件系统 引 言 平面杆系结构： （1）结构可简化到一个平面内 （2）载荷也可简化到该平面内 。 平面杆系结构单元的变形： 1 2 u1 u2 l ?2 w2 ?1 w1 （1）拉压变形 ； （2）弯曲变形 。 每个节点3个自由度，单元共6个自度。 单元节点位移： 平面杆系结构中各单元的方位不同，需用坐标变换将其统一的整体坐标中来求解。 9.3.1 局部坐标系内平面杆单元的特性矩阵 1 2 u1 u2 l ?2 w2 ?1 w1 单元节点位移 1. 2 节点单元 1 2 u1 u2 l 1 2 l ?2 w2 ?1 w1 单元刚度矩阵 轴力杆单元： 弯曲梁单元： —— 3×3 阶的分块子矩阵 1 2 N1 N2 l M2 Q2 M1 Q1 单元等效节点力 单元等效节点载荷 N1、 N2 —— 节点1、2处的轴力 * 主要内容 9.1 结构有限单元概论 9.2 等截面直杆 – 梁单元 9.3 平面杆件系统 9.4 空间杆件系统 第九章 杆件结构力学问题的有限单元法 9.1 结构有限单元概论 1. 杆系、板壳结构的特点 杆件： h l 沿杆长度方向的尺寸比横截面方向尺寸大得多 板壳： 沿板（壳）厚度方向的尺寸比板（壳）面内两方向尺寸小得多 杆、板（壳）的受力是空间分布的 用实体单元求解的可能出现的问题： （1）当单元划分较大时，常导致求解方程的病态 （2）当单元划分较小，即空间三维单元三个方向的尺寸大小相近时，其单元数量太大。 （因单元不同方向的刚度系数相差太大） 2. 杆系、板壳结构有限元法的特点 与材料力学、板壳理论类似，引入适当假设，如： （1）杆件 引入假设： 平面保持平面 一维问题 （2）板壳 引入假设： Kirchhoff 假设 二维问题 杆件单元 板壳单元 优点： （1）求解简单 （2）保证求解的顺利进行和精度。 数学理论基础： （1）主从自由度法 （2）相对自由度法。 例 方程为 如采用5位有效数字 二次消元后 系数矩阵奇异 解决的办法 主从自由度 u3 主自由度; u1 和 u2 从自由度 含义： 为无限大 近似解 采用中面挠度为主自由度，上下表面点的挠度为从自由度。 即，近似假设梁高方向（厚度方向）变形相对其它变形为小量。 相当于 相对自由度 代入原方程，并用 前乘方程两端可得： x , u 9.2 等截面直杆 – 梁单元 9.2.1 轴力杆单元 —— 桁架杆单元 O P1（集中力） x1 1. 基本方程 —— 几何方程 —— 物理方程 —— 平衡方程 —— 位移边界条件 —— 力的边界条件 2. 单元的总位能泛函 或 3. 单元特性分析 x x1 xc x2 1 2 u1 u2 l 位移模式（两节点）： 应变矩阵： 单元刚度矩阵： 单元等效节点载荷： 分布力引起： 集中力引起： 其中：Pj —— 沿杆轴线方向集中力大小 类似地，可得3节点轴力杆单元： x x1 xc x2 1 2 u1 u2 l Pj x x1 xc x2 1 3 u1 u3 l 2 u2 应变矩阵： 单元刚度矩阵： 9.2.2 扭转杆单元 x l M1 θ(x) M2 1. 基本方程 —— 几何方程（单位长度截面扭转角） —— 物理方程， G —— 剪切弹性模量，J ——极惯性矩 —— 平衡方程， m(x) —— 单位长度上作用的扭矩。 —— 位移边界条件（端部给定转角） —— 力的边界条件（端部给定扭矩） 2. 单元的总位能泛函 m(x) Mj 3. 单元特性矩阵 x 1 2 l M1 θ1 θ(x) M2 Mj 位移模式： 应变矩阵： 单元刚度矩阵： θ2 单元等效节点载荷： 分布力偶引起： 集中力偶引起： 其中：Mj —— 集中力偶大小 说明： （1）基本方程中采用了平