随机振动课件(全88页).ppt

第五章 随机振动 5-1 引言 相应地， （3）随机过程的自谱在整个频域上的积分等于 随机过程的均方值。 （4） 双边谱 工程上，把自谱定义在正半轴上，称为单边谱。 确定各态历经过程分布函数和密度函数的步骤 ⑴在样本曲线上，划一根平行于x轴的水平线， 其幅值为x。 ⑵用几何关系求出x(t)的幅值在此水平线下的时 间区段 。 ⑶ ⑷ 例5-2：各态历经过程的一个样本是图示三角波，求其： 概率分布函数、概率密度函数及均值、均方值和方差。 解： ⑴ ⑵ ⑶ ①水平线x ②几何关系： 每个周期T： 取n个周期， 则： 综上 计算均值、均方值和方差： ① ② ③ 或： 作业： 2. 设 为常数，X为随机变量，求 的平均值与方差。 1. 用时间平均法求例5-2的均值、均方值和方差 5-4 相关函数 引言： 均值和方差只是描述了随机过程单一时刻 （随机变量）的数学特征，要描述两个不同时刻的 随机变量之间的联系则要引入相关函数。 一、自相关函数 二、互相关函数 设随机过程 在两个任意时刻 的随机变 量为 是这两个随机变量 的二维概率密度函数。 的自相关函数，是随机变量 乘积的集合平均。 描述随机过程在两个不同时刻之间的线性依赖关系。 一、自相关函数 定义： 对于平稳过程 随机过程在时刻t和t+τ形成的状态（随机变量）X(t)和X(t+τ)之间的相关程度。 物理意义： 规范化自协方差（自相关系数）： 自协方差 自相关函数的性质： ⑴ 自相关函数是偶函数 ⑵ 周期平稳过程的自相关函数也是周期函数， 其周期与过程的周期相同。 自相关函数的性质： ⑶τ=0时的自相关函数就是均方值 ⑷ 如果随机过程不是周期过程，则： ⑸ 自相关函数是一个有界函数 一般τ越大，则两时刻的随机变量X(t1)和X(t1+τ)之 间的相关性愈差。 τ↑，Rx(τ)↓。 例5-3 ：初相位是随机的正弦函数随机过程 x=Asin(ωt+φ)，其中φ是随机变量，其均值为零。 ⑴ 原随机过程是周期各态历经的，其周期为 。而Rx(τ)亦是周期函数, ⑵ ⑶ 例5-4：交流电电路中的电压和电流分别为 v=Vsinωt，i=Isin(ωt+Ф) 瞬时功率P=vi=VIsinωt·sin(ωt+Ф) 相应的平均功率为： 而自相关函数 比较P和Rx(τ)，可见Rx(τ)体现了随机过程的平均功率随时差τ的变化。 二、互相关函数 两个随机过程： 定义： 的互相关函数。 描述：两个随机过程之间的线性依赖关系。 一般： 对于平稳过程： 对于各态历经过程： 其中x(t)、y(t+τ)分别是随机过程 的 代表性样本函数。 （1） 互相关函数一般不是τ的偶函数，一般也不在 τ＝0时取极大值。 Rxy(τ)与Ryx(τ) = Rxy(-τ)之间一般并没有关系。 互相关函数的性质： （2） Rxy(τ)是有界函数 证明： 互协方差： 结论： 互相关系数： 当X，Y的均值都等于零时，互相关系数就等于 规范化互协方差。 定义： 规范化互协方差 （3）Rxy(τ)与Rx(0)，Ry(0)之间的关系 （4）两个统计独立的随机变量一定是不相关的， 但两个不相关的随机变量不一定是统计独立的。 证明： 5-5 功率谱密度函数 一、自功率谱密度函数 二、互功率谱密度函数 自相关函数Rx(τ)描述“平均功率”随时差τ的变化→“平均功率”的时间结构。 功率谱密度S x(f)：描述“平均功率”在频域（谱域）的分布→频率结构。 二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。 一、自功率谱密度函数 定义： 圆频率（角频率） 存在上述傅立叶变换的条件： 一般地，τ↑，Rx(τ) ↓ ∴ Rx(τ)的傅立叶变换一般是存在的。 为什么称为“功率谱” ？ 设 是作用在R＝1上的电压信号，则 是瞬时功率信号，而平均功率 一方面，此式表示平均功率 的时间结构，即各个瞬时的功 率 对于平均功率的贡献。 另一方面，又表示了平均功率的频率结构，即各种频率的功 率成分Sx(f)df对于平均功率的贡献，因此称为功率谱。 为什么称为功率谱