固体理论_第一部分_多电子理论_第二章_格林函数方法.pdf

第二章 格林函数方法 从前一章的讨论中，我们看到处理多粒子系统中的一个关键问题是如何考虑粒子间 的相互作用。由于相互作用引起各个粒子运动的相互关联，“牵一发而动全身”。如何 由粒子间的相互作用出发求出粒子体系的关联函数是多粒子理论的一个核心问题，解决 了这个问题就了解了多粒子系统的各种基本性质。 本章将介绍一种把粒子间相互作用当作微扰，对多粒子系统作微扰处理的重要理论 方法⎯⎯ 格林函数方法。它是由处理单粒子运动的数学物理中的格林函数方法发展而来 的，是一种可以有效地分析微扰论级数中任何一项的场论方法。 首先介绍单粒子问题中的格林函数方法。 §2. 1 单体问题中的格林函数 一 不含时函数 描述单粒子运动的力学量通常可以用线性厄米算符来表示。设有一个不含时的线性 ˆ 厄米算符 ( ) ，它的本征态方程为 L r ˆ L r ϕ λ ϕ 。 ( 2.1.1 ) ( ) n n n ˆ 对应于算符L ，就可定义出它的格林函数G( z, r, r) ， ˆ − r r r ≡ δ r − r [z L ( )]G (z , , ) ( ) 。 ( 2.1.2 ) 显然，G 可以用正交完备的本征函数集ϕ 来表示 n * 1 ϕn ϕn ϕn (r)ϕn (r ) ( , r, r ) G ˆ ∑ 或 G z ∑ 。 ( 2.1.3 ) z − L n z − λn n z − λn ˆ ˆ 如果算符L 是哈密顿算符H ， 就是能量本征值 。如果算符L 的所有本征态 λn En ϕn ˆ 已知，则从 ( 2.1.3 ) 式可以得到对应于L 的格林函数。 ˆ 厄米算符L 的本征值λ 是实数，它的谱有分立的和连续的两种。在计算格林函数 n 时，对分立谱可以直接用 ( 2.1.3 ) 式中的求和，而对连续谱则需要将求和过渡到积 分。如果是分立谱，则G 在z λ 有孤立奇点；如果是连续谱时，则G 在实轴上出现 n 割缝，如图 2.1.1 所示，上(下)岸分别对应着由上(下)半平面趋近于实轴时定义的格林 函数G± ， 17 版权归作者所有，请勿翻印 * ± ϕ n (r)ϕn (r ) G (λ , r, r