数理统计CH2_抽样分布_2.2.ppt

王玉顺：数理统计02_抽样分布 2.1 总体与样本 2.2 抽样分布 2.3 统计量分位数 2.4 抽样分布定理 2.5 中心极限定理 独立同分布中心极限定理要义： 任意已知或未知总体的期望和方差存在； 简单随机抽样获得独立同分布样本； 标准化样本和或标准化样本均值的分布，在n趋于无限大时趋于标准正态分布N(0,1)； 只要n充分大，不论样本和或样本均值原来服从什么分布，它们的分布函数值都可用标准正态分布函数近似计算。 (5)独立同分布中心极限定理小结 2.5.1 独立同分布中心极限定理 (6)中心极限定理应用举例 例题：一批钢产品的强度服从期望为14、方差为4的未知分布，每箱容量为100件该产品，问：(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率有多少？(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率有多少？ 问题分析：产品是随机装箱，故每箱产品视为一个样本，样本容量n=100则n足够大，故用中心极限定理求解。用Xi表每个产品的强度，用Y表每箱平均强度的标准化变换。 2.5.1 独立同分布中心极限定理 (6)中心极限定理应用举例 问题(1)可表为下述事件的概率： 2.5.1 独立同分布中心极限定理 (6)中心极限定理应用举例 问题(2)可表为下述事件的概率： 2.5.1 独立同分布中心极限定理 分析结论： (1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率为0.0062。 (2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率为0.5。 (6)中心极限定理应用举例 2.5.1 独立同分布中心极限定理 2.4 抽样分布定理 设任意总体X的期望E(X)=μ和方差Var(X)=σ2 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本 则样本均值的期望和方差为： (1)任意总体样本均值的期望和方差 (2)正态总体样本均值及分布 定理一：设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的样本，则样本均值服从期望为μ方差为σ2/n的正态分布： 2.4 抽样分布定理 引用任意样本均值的期望为μ方差为σ2/n； 再引用教材第3章第5节例1结论“正态随机变量之和仍然是正态分布”，定理得证。 (2)正态总体样本均值及分布 2.4 抽样分布定理 与总体X的期望μ和方差σ2相比较，样本均值统计量的期望仍为μ，而方差却减小到σ2/n (3)正态总体样本方差及分布 2.4 抽样分布定理 定理二：设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的样本，则对样本均值及方差有下述结论： (a) 与S2独立 (b) 其中： 定理二的证明详见教材P172的附录 (3)正态总体样本方差及分布 2.4 抽样分布定理 示例 (4)正态总体近似标准化样本均值及分布 样本均值减去它的期望再除以它的标准误称作样本均值的近似标准化变换 定理三：设X1,X2,…,Xn是总体X~N(μ,σ2)的样本， 和S2分别是样本均值和样本方差，则 2.4 抽样分布定理 Standard Error (4)正态总体近似标准化样本均值及分布 2.4 抽样分布定理 定理三的推证： (4)正态总体近似标准化样本均值及分布 2.4 抽样分布定理 示例 (5)正态总体两独立样本均值差及分布 定理四： 设X1,X2,…,Xn1是总体X~N(μ1,σ12)的样本； 设Y1,Y2,…,Yn2是总体Y~N(μ2,σ22)的样本； 两样本相互独立且有下述统计量： 2.4 抽样分布定理 则当σ12=σ22时，近似标准化样本均值差是T统计量，且服从自由度为n1+n2-2的t分布： 其中复合方差 (5)正态总体两独立样本均值差及分布 2.4 抽样分布定理 (5)正态总体两独立样本均值差及分布 2.4 抽样分布定理 定理四的推证： 引用任意样本均值的期望为μ方差为σ2/n； 再引用教材第3章第5节例1结论“正态随机变量之和仍然是正态分布”，则： 因均值差为正态统计量，则它的标准化变换为Z统计量且服从N(0,1)分布： (5)正态总体两独立样本均值差及分布 2.4 抽样分布定理 依据卡方分布可加性可将两样本方差组合成χ2统计量并服从自由度n1+n2-2的χ2分布： 根据t分布定义构建T统计量并得其分布： (5)正态总体两独立样本均值差及分布 2.4 抽样分布定理 (5)正态总体两独立样本均值差及分布 2.4 抽样分布定理 展开T统计量并化简，得T统计量表达式： (5)正态总体两独立样本均值差及分布 2.4 抽样分布定理 展开T统计量并化简，得T统计量表达式： 其中： (5)正态总体两独立样本均值差及分布 2.4 抽样分布定理 示例 (6)正态总体两独立样本方差比及分布 2.4 抽样分布定理 定理五： 设X1,X2,…,Xn1是总体X~N(μ1,σ12)的样本； 设Y1,Y2,…,Yn2是总体Y~N(μ2,σ22)的样本； 两样本相互独立