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第一章线性控制系统的状态空间描述 李玉庆 飞行器动力学与控制研究所 第一章 线性控制系统的状态空间描述 1.1 状态空间描述的概念 1.2 将系统的一般时域描述转化为状态空间 描述 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 1.4 状态方程的规范形式 * * 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 由输入-输出描述求状态空间描述的问题称为实现问题 仅对实现单输入-单输出系统的状态空间描述(A，B，C，D) 具有代表性的方法 。 单输入-单输出线性定常系统 ，输出和输入之间的因果关系可用 高阶微分方程来描述 1.2 将一般时域描述转化为状态空间描述 传递函数来描述 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 因此由输入-输出描述求取状态空间描述的问题，就归结为适当地选取一组状态变量和确定相应的系数矩阵A，B，C，D的问题 状态空间描述 可选 为系统的一组状态变量 1.选取状态变量 则求状态方程和输出方程的步骤 ①不包含输入函数导数 高阶微分方程中，不包含输入函数的各阶导数 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 2.化高阶微分方程为 的一阶微分方程组 系统的输出表达式为 3.将方程组改写为向量形式 令 状态方程 输出方程 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 例1-12 已知系统输入-输出描述为 试求其状态空间描述。 解： 选取 写成向量形式 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 ②包含输入函数导数 则求状态方程和输出方程的步骤 1.选取状态变量 通常可选取输出变量y和输入变量u各阶导数的适当组合 待定系数 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 中间变量 代入: 对比等式 的系数 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 2.导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式 3.向量形式 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 例1-13 解： 已知系统输入-输出描述为 试求其状态空间描述。 选取 状态方程和输出方程 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 1.3 将频域描述转化为状态空间描述 单输入-单输出线性定常系统 ，输出和输入之间的因果关系可用: 高阶微分方程来描述 y：输出变量，u：输入变量 传递函数来描述 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 ①系统传递函数的特征多项式的根为两两相异 当系统传递函数 的特征根 为两两相异时 展开为部分分式的形式 为状态变量,令 其拉氏变换满足 设 L-1得状态方程 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 L-1得输出方程 矩阵形式 对角线标准型 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 已知 试求其状态空间描述 例1-15 解： 系统的极点为 两两相异 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 系统状态空间描述 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 ②系统传递函数的特征多项式的根有重根时 1.有一个重根,重数为r,其余为两两相异的根 选取状态变量 的拉氏变换为 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 状态方程和输出方程 L-1得状态方程 输出方程的拉氏变换为: L-1得输出方程 矩阵形式 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 约当(Jordan)标准型 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 例1-16 解： 已知系统的传递函数为 试求其状态空间描述 系统有一个三重极点 待定系数 系统状态空间描述 2.同时有单极点和多个重极点 则可直接写出约当标准型的状态空间表达式: 假定 为单极点, 为 重极点, 为 重极点, 且有 1.4 状态方程的规范形式 1.4 状态方程的规范形式 线性定常系统的系统矩阵A的矩阵值是表征系统的动力学特性的一个重要参量。系统的状态方程通过适当的线性非奇异变换而化为由特征值表征的约当规范型。当系统矩阵A的特征值为两两相异时，规范型具有对角线规范型的形式。 1.4 状态方程的规范形式 特征值及其不变性 线性定常系统 系统的特征值，即系统矩阵A的特征值，即特征方程 的根 特征值的性质 1．一个n阶系统的系统矩阵A，有且仅有n个特征值。 2．物理上可实现的系统，系统矩阵A的各元均为实数，因此其n个特 征值或为实数，或为共轭复数对。 3．对系统做非奇异变换，其特征值不变。 证明 命题得证 1.4 状态方程的规范形式 4.设 —A特征值，非零n维向量 —A的属于 特征向量 两两相异 因此由这些特征向量组成的矩阵P必为非奇异 —特征向量 —