第四节 函数单调性与凹凸性.ppt

* 第四节 函数单调性与凹凸性 一、函数的单调性 定理1 设 在区间 上连续, 在区间 内可导. (1) 若在 内 则 在区间 上单调增加. (2) 若在 内 则 在区间 上单调减少. 证明 (1) 任取 且 则 在 上连续, 在 内可导. 由拉格朗日中值定理得: 至少存在一点 使得 即 在区间 上单调增加. (2) 类似可证 注： 反之不然. 即 在区间 上单调增加 在 内 (单调减少) 反例: 在讨论 的单调性时, 在定义域中如有 使得导数为零的点或导数不存在的点,应先求出它们. 例1 讨论函数 在 上的单调性 解 时, 在 上 是单调增加的. 例2 讨论函数 的单调性 解 定义域: 令 解得 它们将定义域分为: 时, 在 上, 是单调增加的. 时, 在 上, 是单调减少的. 时, 在 上, 是单调增加的. 例3 证明: 当 时, 有 分析: 即证 令 即 所以,只需证: 证 令 时, 当 时, 有 即 即 二. 函数的凹凸性与拐点 先看两条曲线: 它们有何不同？ 向上弯 向下弯 弯曲的方向不同 怎样描述曲线的弯曲方向？ 函数的凹凸性 （凹的） （凸的） 定义 设 在区间 上连续. 如果对于任意两点 都有 则称函数 在区间 的图形 是凹的. ( 凸 ) ( ) 定理2 设 在区间 上连续, 在区间 内二阶可导, 那么 (1) 若在 内 则 在 上是凹的. (2) 若在 内 则 在 上是凸的. 证 (1) 任取两点 不妨设 在 内二阶可导, 因而 在 内一阶可导, 又 在 上连续 在 上, 应用拉格朗日中值定理得: 至少存在一点 使得 即 (1) 同理, 在 上, 应用 拉格朗日中值定理得: 至少存在一点 使得 即 (2) (2)-(1)得 (拉格朗日中值定理) 在区间 内 即 按定义得: 在 上是凹的. (2) 类似可证. 注: 反之不然. 反例: 在 上是凹的, 但 在 上是凹的, 但 不存在. 在讨论凹凸性时, 应先求出使 或 不存在的点. 例4 讨论下列函数的凹凸性 （1） （2） 解 （1） 定义域： 在 上是凸的. （2） 定义域： 令 解得 它将定义域分为： 在 上是凸的. 在 上是凹的. 定义 曲线上凹凸性的转折点称为拐点. 在上例中, 点 是曲线 的拐点. 例5 求下列函数的凹凸区间与拐点 （1） （2） 解 (1) 定义域: 令 解得 *