第四节 无穷大与无穷小.ppt

函数与极限 第四节 无穷大与无穷小 一、无穷大 二、无穷小 三、无穷大与无穷小的关系 四、小结、思考题 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、无穷小的比较 五、等价无穷小代换 六、小结 * 1、定义: 极限为零的变量称为无穷小. 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 2、无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 不是无穷大． 无界， 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义: 例如， 例1 解 证 必要性 充分性 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 常用等价无穷小: 例２ 解 例３ 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 定理２(等价无穷小代换定理) 证 例4 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例5 解 例6 解 解 错 例7 解 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大. * * 定理1 其中是当时的无穷小. 若，且， 问：能否保证有的结论？试举例说明. 1、凡无穷小量皆以________为极限. 一、1、0； 2、； 3、； 4、. 二、.