.双曲线..双曲线的简单几何性质第一课时.doc

2．3.2　双曲线的简单几何性质 教材分析　　　　　 学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感． 课时分配　　　　　 本节内容分两课时完成. 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中． 第1课时 教学目标　　　　　 知识与技能 1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质． 2．了解双曲线的中心、实轴、虚轴、渐近线、等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e的关系及其几何意义． 过程与方法 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力． 情感、态度与价值观 使学生在合作探究活动中体验成功， 激发学习热情，感受曲线美、数学美． 重点难点　　　　　 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． 教学难点：渐近线的性质． 引入新课　　　　　 提问：(1)双曲线是如何定义的？ (2)双曲线的标准方程是什么？ (3)前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？ 椭圆＋＝1(ab0) 图形 范围 －a≤x≤a　－b≤y≤b 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 (±a,0)，(0，±b) 离心率 e＝，0e1，e越接近1越扁，e越接近0越圆 设计意图：回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决． 探究新知　　　　　 探究1.类比椭圆＋＝1(ab0)的几何性质，借助－＝1(a0，b0)图象探讨双曲线有哪些几何性质？提出探究要求： (1)先通过焦点在x轴上的标准方程来研究． (2)类比椭圆的性质从范围、对称性、顶点、离心率四个角度思考． (3)要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲． 设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生沿着一定的目标去自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评． 活动成果： 1. 椭圆＋＝1(ab0) 双曲线－＝1(a0，b0) 图形 范围 －a≤x≤a　－b≤y≤b x≥a或x≤－a 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) 离心率 e＝，0e1，e越接近1越扁，e越接近0越圆 e＝，e1，e越大双曲线张口越大 2．双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)． 3．线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长． 探究2.双曲线的这些性质和椭圆有什么异同？ 从范围看，椭圆是封闭的，双曲线是“开放”的． 从对称性看，都关于x轴、y轴、原点对称，这是缺一次项的二次方程的共性． 从顶点看，椭圆有四个，双曲线有两个，都是与坐标轴的交点，轴的概念的异同． 从离心率看：椭圆e＝＝∈(0,1)，双曲线e＝＝∈(1，＋∞)． 设计意图：通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题、解决问题的能力． 探究3. 渐近线的发现与论证： 思考：双曲线－＝1： ①在位于第一象限内的双曲线上找一点M，点M的横坐标xM与它到直线 －＝0的距离d有什么关系？(几何画板演示，学生回答) ②d能否为0? 若d＝0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M(x0，y0)， 则－＝0，又－ ＝ ( ＋ )(－) ＝ 0≠1， ∴点M不在双曲线上．∴d≠0. 归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．(几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系) 结论：①双曲线－＝1(a0，b0)的渐近线方程为±＝0. ②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． 设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线y＝x”，采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征． 探究4.离心率的几何意义： 思考：渐近线、e、双曲线张口有什么关系？ 活动成果：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如