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第1课时 解三角形的实际应用举例 —距离问题 1.2 应用举例 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语； 2.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力. B C A 1. 什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？ （1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角. （2）能解决的三角形类型 ①已知三角形的任意两角及其一边； 2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三角形？ （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 ①已知三边求三角； （2）余弦定理能解决的三角形： ②已知两边及它们的夹角，求第三边. , , . 3.课本引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的. 今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离. 探究一、关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题: 思考2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？ 思考1： △ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边. 根据正弦定理，得 答:A、B两点间的距离为65.7米. 解： 探究二、关于测量两个都不可到达的点之间的距离的问题: 例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法. A B 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题. A B 首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点. 用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离. C D A B 解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得 D C 思考：还有没有别的测量方法？ 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式. 我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的AC，例2中的CD. 在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度. 一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 思考：你还能找出生活中这样的例子吗？ 基线： C A B 北 东 解: . 解： . 3.一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？ 4.自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． （1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角形？ 最大角度 此题即“已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．” 解：由余弦定理，得 答：顶杆BC约长1.89m. C A B 解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解. 装饰对于德行也同样是格格不入的，因为德行是灵魂的力量和生气。 ——卢梭 * * * *