实验四、Euler_法求微分方程解.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * 非刚性的意思就是函数随自变量变化相对比较小的，刚性的就是会有剧烈变化的 * * * * * * 实验四 求微分方程的解 数学实验 * 自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。 由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。 本实验主要研究如何用 Matlab 来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法－－Euler折线法。 问题背景和实验目的 * 考虑一维经典初值问题 基本思想：用差商代替微商 根据 Talyor 公式，y(x) 在点 xk 处有 Euler 折线法 * 初值问题的Euler折线法 具体步骤： 等距剖分： 步长： 分割求解区间 差商代替微商 得方程组： 分割求解区间，差商代替微商，解代数方程 为分割点 k = 0, 1, 2, ..., n-1 yk 是 y (xk) 的近似 * Euler 折线法举例 例：用 Euler 法解初值问题 取步长 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程 当 h=0.4，即 n=5 时，Matlab 源程序见 fuluA.m 解： * Euler 折线法源程序 clear f=sym(y+2*x/y^2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h; x=0; y=1; szj=[x,y]; for i=1:n-1 % i=1:n y=y+h*subs(f,{x,y},{x,y}); x=x+h; szj=[szj;x,y]; end szj plot(szj(:,1),szj(:,2),or-) * Euler折线法举例（续） 解析解： 解析解 近似解 y=1/3*(-18-54*x+45*exp(3*x))^(1/3) * Runge-Kutta 方法 为了减小误差，可采用以下方法： 让步长 h 取得更小一些； 改用具有较高精度的数值方法： 龙格-库塔方法 Runge-Kutta (龙格-库塔) 方法 是一类求解常微分方程的数值方法 有多种不同的迭代格式 * Runge-Kutta 方法 用得较多的是 四阶R-K方法（教材第 98 页） 其中 * 四阶 R-K 方法源程序 clear; f=sym(y+2*x/y^2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h; x=0; y=1; szj=[x,y]; for i=1:n-1 % i=1:n l1=subs(f,{x,y},{x,y}); l2=subs(f,{x,y},{x+h/2,y+l1*h/2}); l3=subs(f,{x,y},{x+h/2,y+l2*h/2}); l4=subs(f,{x,y},{x+h,y+l3*h}); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=[szj;x,y]; end plot(szj(:,1),szj(:,2), dg-) * Runge-Kutta 方法 * Euler 法与 R-K法误差比较 * Matlab 解初值问题 用 Maltab自带函数 解初值问题 求解析解：dsolve 求数值解：  ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb * dsolve 求解析解 dsolve 的使用 y=dsolve(eq1,eq2, ... ,cond1,cond2, ... ,v) 其中 y 为输出， eq1、eq2、...为微分方程，cond1、cond2、...为初值条件，v 为自变量。 例 1：求微分方程 的通解，并验证。 y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x^2),x) syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2) * dsolve 的使用 几点说明 如果省略初值条件，则表示求通解； 如果省略自变量，则默认自变量为 t dsolve(Dy=2*x,x); ％ dy/dx = 2x dsolve(Dy=2*x); ％ dy/dt = 2x 若找不到解析解，则返回其积分形式。 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy