Chapt多速率处理与小波变换.ppt

* 小波分解得到的图像 * 1984: subband coding (Burt and Adelson) SBC (subband coding)的基本概念：把信号的频率分成几个子带，然后对每个子带分别进行编码，并根据每个子带的重要性分配不同的位数来表示数据 20世纪70年代，子带编码开始用在语音编码上 20世纪80年代中期开始在图像编码中使用 1986年Woods, J. W.等人曾经使用一维正交镜像滤波器组(quadrature mirror filterbanks，QMF)把信号的频带分解成4个相等的子带 * 小结 连续小波变换 离散小波变换 尺度函数 多分辨率分析 正交小波变换构造 共轭滤波器组 Mallat 算法/重构算法 * 增加了 m-1个 等间隔得复制频谱, 抗混叠得原因 * 解决问题2却是一件非常困难的事情。这里牵涉到尺度函数?(t)与滤波器系数{hk}k?Z之间的关系问题： 如果有一个L2(R)空间的尺度函数?(t)，一定能构造出双尺度方程(1) ，从而找到一组满足(1)的滤波器{hk}k?Z； 反过来，如果有一组滤波器{hk}k?Z满足某个双尺度方程，由此求解得到的函数却不一定是满足MRA的尺度函数，这样无法保证双尺度方程解的平移构成L2(R) Riesz基 若?(t)是正交的，则相应的滤波器h有什么性质呢？ 定理 若?(t)是正交的，则相应的滤波器{hk}必须满足条件： (12) (13) 但是，如果{hk}仅仅满足(12)和(13) ，并不能保证由双尺度方程构造出的函数?(t)是正交尺度函数。 (12)和(13) 称为构造正交小波的必要条件。 * 仅有必要条件是不够的，即{hk}k?Z除了满足条件(12)和(13) 外，还应满足其他条件。S. Mallat[4]，W. Lawton[6]等都在这方面作出了重大的贡献，并给出了一些有意义的结论。下面给出W. Lawton的充分条件。 定理: 设h(?)是FIR滤波器，若满足 则{?(t-k)}k?Z是标准正交的。 * 步骤1 寻找满足双尺度方程(1)和(2)的滤波器{hk,gk}k?0,1,…,N 步骤2 利用公式(7)计算2?周期函数h(?)； 步骤3 验证h(?)是否满足条件 通过傅立叶反变换求出?(t) 步骤6 {?(t-k)}k?Z是正交的尺度函数，对应的紧支小波由公式(2)计算。 步骤4 计算 构造紧支小波基 * 尺度函数和小波函数{?(t),?(t)}t?R是在时域刻画信号的性质，对应的滤波器{h(?),g(?)}??R从频域上刻画信号的性质。实际上，{?(t),?(t)}t?R大量的性质都可以由对应的{h(?),g(?)}??R从频域上反映出来，甚至离散小波变换都可以借助滤波器来实现，因此小波与滤波器具有紧密的关系。 正交尺度函数产生共轭镜像滤波器 定义 若尺度函数?(t)是正交的，则它所对应的滤波器h(?)称为共轭镜像滤波器。 h(?)满足以下条件： 共轭镜像滤波器 * 滤波器{hk}k?Z称为低通滤波器(low pass filter)。所谓低通是指：当信号f(t)被{hk}k?Z作用后，其低频成分能被保留下来，而高频成分(?=?)却被滤掉了。 对应的小波滤波器g(?)也是共轭镜像滤波器。也满足条件 (14) 另外，由于{?(t-k)}k?Z与{?(t-k)}k?Z分别是V0空间和W0空间的规范正交基，而V0?W0，则 (15) 公式(15)反映了低通滤波器h(?)和高通滤波器g(?)之间的关系。 * S. Mallat同时给出了这样的结论：若高通滤波器g(?)满足公式(14)和(15)，则由公式 产生的小波基{?(t-k)}k?Z构成W0空间的规范正交基。因此当尺度函数?(t)已经确定时，只要能找到一个满足公式(14)和(15)的g(?)，就一定能找到对应的小波?(t)，但是这样的解并不是唯一的。例如可取 (16) 可以验证g(?)满足(14)和(15)，对应的共轭镜像滤波器为： (17) * 因此当找到低通共轭镜像滤波器{hk}k?Z后，利用公式(17)马上可得高通共轭镜像滤波器{gk}k?Z。 总结：在一个MRA下的正交尺度函数和小波函数{?(t),?(t)}t?R，产生一组共轭镜像滤波器{h,g}，满足： (18) 这3个式子代表的是尺度函数的正交性, 小波函数的标准正交性,和尺度函数和小波函数之间的正交性. 滤波器组(H,G)构造标准小波基必需满足的三个条件 * 共轭镜像滤波器 原来是smith和barnwell在1986提出的一种图象处理的方法 分析滤波器 合成滤波器 * 正交小波基构造举例-Haar小波 * Haar * 共轭镜象滤波器 缺点: 除