图像处理中傅里叶变换.ppt

二维离散傅立叶变换的性质 1）线性 再将F(x,v)沿每一列进行一次一维傅立叶变换，就可得二维傅立叶变换 F(u,v)，即 显然，改为先沿列后沿行分离为两个一维变换，其结果是一样的。 即 二维离散傅立叶反变换的分离过程与上述相似，所不同的只是指数项为正。 若f(x,y)←→F(u,v) ，则 4)周期性和共轭对称性 周期性 5）旋转不变性 引入极坐标 傅立叶变换的旋转性 8）微分性质 定义f(x,y) 的拉普拉斯算子为 6）分配性和比例性 分配性 7）平均值 二维离散函数的平均值定义如下： 9）卷积定理 连续函数卷积定理 设 * * 图像变换 图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；②有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。 图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： ①正交变换必须是可逆的； ②正变换和反变换的算法不能太复杂； ③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。 因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。 在此讨论常用的傅立叶变换 。 频域世界与频域变换 任意波形可分解为正弦波的加权和 傅立叶变换 在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数 可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。 连续函数的傅立叶变换 1. 一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数，f(x) 的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为  若已知F(u)，则傅立叶反变换为  这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下： 傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。 2. 二维连续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为 二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为 |F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2 φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) 离散函数的傅立叶变换 1.一维离散函数的傅立叶变换 假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。 将序列表示成 f(x)=f(x0+x△x) 即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。 被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为 F(u)= 式中u=0，1，2，…，N﹣1。反变换为 f(x)= 式中x=0，1，2，…，N-1。 例如：对一维信号f(x)=[1 0 1 0]进行傅立叶变换。 由 得 u=0时， u=1时, u=2时, u=3时, 在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为 F(u)= =Af(x) x y 1 -1 j -j 2.二维离散函数的傅立叶变换 在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)= 式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。 f(x，y)= 式中 x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。 一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。 一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大